平面向量基本定理及向量的坐标表示专题复习题

平面向量基本定理及向量的坐标表示1.(文)(2011·重庆文)已知向量(1,),(2,2),akb且ab与a共线，那么ab的值为()A．1B．2C．3D．4(理)在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,,ANABAC则()A.12B.13C.14D．12．(2011·嘉兴模拟)已知,ab是不共线的向量,,,,,,ABabACabR那么A、B、C三点共线的等价条件为()A．2B．1C．1D．13．(2012·湖北省孝感模拟)在四边形ABCD中,2,,4,,53,ABabBCabCDab其中,ab不共线，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形4．如图,ABC中,,,ADDBAEECCD与BE交于F，设,,,ABaACbAFxayb则(,)xy为()A.11(,)22B.22(,)33C.11(,)33D.21(,)325．已知向量(2cos,2sin),(0,2),(,),2ab则,ab()A.32B．2C.2D．θ6．(文)已知,ab是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足()()0,acbc则||c的最大值是()A．1B．2C.2D.22(理)已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a0，点P在线段AB上，且有AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→·OP→的最大值为()A．aB．2aC．3aD．a27．在平行四边形ABCD中,AE→＝13AB→,AF→＝14AD→，CE与BF相交于G点．若,,ABaADb则AG→＝()A.2177abB.2377abC.3177abD.4277ab8．(文)(2010·深圳模拟)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，且BP→＝2PA→，则()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14(理)已知A(7,1)，B(1,4),直线y＝12ax与线段AB交于C,且AC→＝2CB→,则实数a等于()A．2B．1C.45D.539．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，其中O为坐标原点，则实数a的值为()A．2B．－2C．2或－2D.6或－610．(2010·河南许昌调研)在平面直角坐标系中，O为原点，设向量,,OAaOBb其中(3,1),(1,3)ab．若,OCab且0≤λ≤μ≤1，C点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是()[答案]A[解析]OC→＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，11．(文)(2010·重庆诊断)称(,)||dabab为两个向量,ab间的“距离”．若向量,ab满足；①||1b；②ab；③对任意的t∈R，恒有(,)dab≥(,)datb，则()A．abB．()aabC．()babD．()()abab(理)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的(,),(,)amnbpq．令,abmqnp下面说法错误的是()A．若a与b共线，则0abB．abbaC．对任意的λ∈R，有()()ababD．2222()()||||ababab12.平面上有四个互异的点A、B、C、D，满足()()0,ABBCADCD则三角形ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形13．如图,在四边形ABCD中00,1,90,135,ABBCCDBBCD记向量,,ABaACb则AD()A.22(1)2abB．22(1)2abC．22(1)2abD．22(1)2ab14．(文)(2011·杭州模拟)已知向量(sin,1),(cos,3),axbx且//,ab则tanx_______.(理)已知2(2,3),(sin,cos),(,),22ab若//,ab则tanx_____.15．(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设,,ABaADb若,MNmanb则nm_______.16．(文)如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，F为AB上一点，且4,ABAF若,ADxAFyAE则x＝____，y＝___.(理)(2011·江苏徐州市质检)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若,,AMxABANyAC则min(4)xy___．17．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB___，DEDC的最大值为________．18．已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点,,,EFAEABAFAC则11_______.19．(2012·江西八校联考)如图所示,设P、Q为△ABC内的两点,且2121,,5534APABACAQABAC则ABPABQSS______．20．(文)已知(0,0),(2,1),(1,3),,OABOPOAtOB求：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．(理)(2011·杭州市质检)已知向量(1,2),(cos,sin),ab设(matbt为实数)．(1)若α＝π4，求当||m取最小值时实数t的值；(2)若,ab问：是否存在实数,t使得向量ab和向量m的夹角为π4,若存在,请求出,t若不存在,请说明理由．21．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知c＝2b，向量3(sin,),(1,sin3cos),2mAnAA且m与n共线．(1)求角A的大小；(2)求ac的值．22．设,ab是不共线的两个非零向量，(1)若2,3,3,OAabOBabOCab求证：A、B、C三点共线；16题（理）(2)若8akb与2kab共线，求实数k的值；23．(2011·衡阳期末)平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1),abc请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m、n；(2)若()//(2),akcba求实数k；(3)若d满足()//(),dcab且||5,dc求d.24．(文)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及定点A(1,1)，M为圆C上任意一点，点N在线段MA上，且MA→＝2AN→，求动点N的轨迹方程．(理)已知θ是△ABC的最大的内角．设向量(cos,sin),(sin2,1cos2),(0,1)abc．定义()()||,fabcb求()f的最大值．平面向量基本定理及向量的坐标表示1.(文)D(理)A[解析]本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得AN→＝12AM→＝λAB→＋μAC→，整理得AM→＝2λAB→＋2μAC→，由于点M在直线BC上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.2．D3．C4．C[解析]设CF→＝λCD→，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ(12a－b)＝12λ－1a＋(1－λ)b，∵BE→与BF→共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋2312a－b＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.5题5．A[解析]解法一：由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上(∵π2θπ)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为3π2－θ.解法二：cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－4sinθ2×2＝－sinθ＝cos3π2－θ，∵θ∈π2，π，∴3π2－θ∈π2，π，又〈a，b〉∈(0，π)，∴〈a，b〉＝3π2－θ.6．(文)C[解析]由(a－c)(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝2，故选C.(理)D[解析]∵AP→＝tAB→，∴OP→＝OA→＋AP→＝OA→＋t(OB→－OA→)＝(1－t)OA→＋tOB→＝(a－at，at)∴OA→·OP→＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴OA→·OP→≤a2.7．C8．(文)A(理)A9．C[解析]以OA、OB为边作平行四边形OACB，则由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|得，平行四边形OACB为矩形，OA→⊥OB→.由图形易知直线y＝－x＋a在y轴上的截距为±2，所以选C.10．A[答案]A[解析]OC→＝λa＋μb＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，令OC→＝(x，y)，则x－y＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ)＝2(λ－μ)≤0，∴点C对应区域在直线y＝x的上方，故选A.11．(文)C(理)B12B[解析](AB→－BC→)·(AD→－CD→)＝(AB→－BC→)·(AD→＋DC→)＝(AB→－BC→)·AC→＝(AB→－BC→)·(AB→＋BC→)＝|AB→|2－|BC→|2＝0，故|AB→|＝|BC→|，即△ABC是等腰三角形．13．B根据题意可得△ABC为等腰直角三角形，由∠BCD＝135°，得∠ACD＝135°－45°＝90°，以B为原点，AB所在直线为x轴，BC所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，并作DE⊥y轴于点E，则△CDE也为等腰直角三角形，由CD＝1，得CE＝ED＝22，则A(1,0),B(0,0)，C(0,1)，D(22，1＋22)，∴AB→＝(－1,0)，AC→＝(－1,1)，AD→＝(22－1,1＋22)，令AD→＝λAB→＋μAC→，则有－λ－μ＝22－1，μ＝1＋22，得λ＝－2，μ＝1＋22.∴AD→＝－2a＋(1＋22)b.14．(文)－13(理)－3315．(文)－416．(文)21(理)(2011·江苏徐州市质检)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交AB、AC于M、N两点，若AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，则4x＋y的最小值为___．94如图所示，由题意知AD→＝12(AB→＋AC→)，AE→＝12AD→，又M，E，N三点共线，所以AE→＝λAM→＋(1－λ)AN→(其中0λ1)，又AM→＝xAB→，AN→＝yAC→，所以14(AB→＋AC→)＝λxAB→＋(1－λ)yAC→，因此有4λx＝1，41－λy＝1，解得x＝14λ，y＝141－λ，令1λ＝t，∴t1，则4x＋y＝1λ＋141－λ＝t＋t4t－1＝(t－1)＋14t－1＋54≥94，当且仅当t＝32，即λ＝23时取得等号．17．11[解析]本题考查平面向量的数量积，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x0,0)，则CB→＝(0，－1)，DC→＝(1,0)，DE→＝(x0，－1)，9题（理）17题19题∴DE→·CB→＝(x0，－1)(0，－1)＝1，∴DE→·DC→＝x0，而0≤x0≤1，∴DE→