小学五年级奥数数的整除特征

第一单元数的整除特征熟记整除的性质，以及能被2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、125整除的数的特征，能应用性质和特征解决简单的数字问题及生活中的问题（一）整除——约数、倍数•像15÷3＝5，63÷7＝9这样，•一般的，如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b＝c，即整数a除以整数b所得的商正好等于c且没有余数，我们就说a能被b整除（或者说b能整除a），记作：b︱a，•否则，称a不能被b整除（或b不能整除a），记作：ba（二）数的整除性质•1、看下面的两个例子：•⑴我们知道2︱10，2︱6，2能整除10与6的和或者差吗•能。2︱（10＋6）且2︱（10－6）•⑵我们再看5︱25，5︱10，5能整除25与10的和或差吗？•能。5︱（25＋10），5︱（25－10）•你能从上面的题目中得到上面规律？数的整除性质1•性质1：•如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。•即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）•你能再举出一个例子吗？数的整除性质2•2、我们再来看一组例子：•①15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除45吗？•②3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除84吗？•③5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除135吗？•上面的3个例子有什么共同点？•如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个数整除吗？数的整除性质•性质2：•如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。•即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a•反过来，如果b︱a，c︱a那么bc︱a一定正确吗？数的整除性质3•3、我们看下面的例子：•①4能够整除36，6也能整除36，4与6的积能整除36吗？•②4能够整除80，5也能整除80，4与5的积能整除80吗？•③5能够整除80，8也能整除80，5与8的积能整除80吗？•这说明这两个数需要满足一定的条件！不能能能数的整除性质3•性质3：•如果b、c都能整除a，且b和c，那么b、c的积能整除a。•即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。•例如8︱324685008，9︱324685008且（8，9）＝1，•那么︱324685008。互质72数的整除性质4•4、我们最后再看一个问题：•如果c能整除b，b能整除a，那么c一定能整除a吗？•自己出几个题目试试？•7能整除14，14能整除140，那么，7能整除140吗？•9能整除18，18能整除54，那么，9能整除54吗？能能数的整除性质4•性质4：•如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。•即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。我们来总结一下•性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和或差也能被c整除。即：如果c︱a，c︱b那么c︱（a±b）•性质2：如果b、c的积能整除a,那么b和c都能整除a。即：如果bc︱a，那么b︱a，c︱a•性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b、c的积能整除a。即：如果b︱a，c︱a且（b，c）＝1，那么bc︱a。•性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。•即：如果c︱b，b︱a那么c︱a。（三）数的整除特征•（一）：能被2、3、5、9、整除的数的整除特征；•（二）①能被4、25整除：末两位数能被4和25整除；•②能被8、125整除：末三位数能被8、125整除；•③能被11整除：奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除；•④能被7、11、13整除：末三位与末三位前面的数的差（大减小）能被7、11、13整除。应用举例（一）判断一个数能不能被整除•例1、•①判断35112能不能被7、11、13整除•②33333333468375能不能被125整除•③1234567891011121314能不能被3和9整除•①判断35112能不能被7、11、13整除•回忆：能被7、11、13整除的数的特征：•末三位数字与前面的数字的差（大减小）能被7、11、13整除。•解：112－35＝77•因为777，1177，1377•答：35112能被7和11整除，但不能被13整除。∣∣•②33333333468375能不能被125整除•回忆：能被125整除的数的特征：•末三位数字能被125整除。•解：因为这个数的末三位数字375能被125整除，所以33333333468375能被125整除。•③1234567891011121314能不能被3和9整除。•回忆：能被3（或9）整除的数的特征：•各个数位数字的和能被3（或9）整除。•解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋1＋0＋1＋1＋1＋2＋1＋3＋1＋4＝60•因为360960•所以这个数能被3整除而不能被9整除。•答：这个数能被3整除而不能被9整除。∣应用举例（二）根据规律填空•例2、⑴已知45︱求所有满足条件的六位数。yx1993解：因为45＝5×9，根据整除的性质②，可知5︱，9︱所以y可以是0或者5，当y＝0时，根据9︱及数的整除特征可知x＝；当y＝5时，根据9︱及数的整除特征可知x＝答：满足条件的六位数是或。yx1993yx1993yx1993yx199359519930919935•（2）李老师为学校一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处数字相同，请问：每支钢笔多少元？•分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱数9□.2□是28的倍数，同上面的解题思路类似，可以用数的整除性质和数的整除特征结合起来解答。9□.2□元＝9□2□分•解：∵28＝4×7，根据整除的性质③，•可知4︱9□2□且7︱9□2□•∴根据4的整除特征可知□可以填0、4、8，•∵79020，79424；79828。•∴□处应当填。•÷28＝（分）＝（元）•答：每支钢笔的价格是元。∣898283513.513.51思路回眸•要判断一个数能否被一个合数整除，或者要确定一个能被合数整除的数，可以根据性质②，把合数拆成两个互质数相乘，再根据整除的特征确定所求的数。今日小结•1、数的整除的有关概念；•2、数的整除性质；•3、数的整除特征；•4、典型例题：•㈠判断一个数能否被另一个数整除；•㈡根据整除的性质和整除的特征求符合条件的数。今日作业1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____。（安徽省1997年小学数学竞赛题）2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，墨汁落在账本上把这笔账的总数污掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被污掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。（德阳市第十届小学生数学邀请赛试题）。4、四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____5、在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____。6、在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被23、5、11整除，这个七位数最小值是多少？