高中立体几何试题(答案)

高中立体几何试题1.在正方体1111DCBAABCD中，求二面角111CBDA的大小．解析：如图9-43，在平面BCD11内作11BDEC，交1BD于E．连结EA1，设正方体棱长为a，在△11BDA和△11BDC中，aDCDA1111，aBCBA211，11BDBDa3，∴△11BDA≌△11BDC，∵11BDEC，∴11BDEA，∴11ECA二面角111CBDA的平面角．在Rt△11DBC中，9011BCD，∴111112121BDECBCDC，∴aaaaEC32321,在△11ECA中，ECEA11a32，aCA211，2132322)2(3232cos22211aaaaaECA，110ECA＜180＜，12011ECA2.如图9-50，点A在锐二面角-MN-的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面所成的角为30°，求二面角-MN-的大小．解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BH⊥于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面所成的角，∴∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ⊥MN，∴∠BQH为二面角-MN-的平面角．图答9-44设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=90°，∠BAM=45°，∴aAB2，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴aBH22．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，aBH22，∵∠BQH是锐角，∴∠BQH=45即二面角-MN-等于45°．3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝21CD，侧棱PB⊥底面ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB的面积等于6，若平面DPA与平面CPB所成的二面角为α，求α.解析：平面DPA与平面CPB有一公共点P，要画出它们构成的二面角的平面角必须确定它们公共交线，DA和CB的延长线的交点E是它们的另一公共点.由公理二，PE就是二面角的公共棱.有了公共棱，二面角的平面角就生了根.解延长DA交CB的延长线于E，连PE，则PE就是平面DPA和平面CPB的交线.∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD.∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE.作CF⊥PE于F，连DF由三垂线定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α.∵AB＝21CD，PC＝5，BC＝3，∴PB＝4.SΔPAB＝6，∴AB＝3，CD＝6，DCAB＝ECEB＝21.∴EB＝3，PE＝5.∵PB·EC＝CF·PE，∴CF＝524.在直角ΔDCF中，tanα＝CFDC＝5246＝45.α＝antan45.4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，其棱长为a.(1)求证BD1⊥截面AB1C；(2)求点B到截面AB1C的距离；(3)求BB1与截面AB1C所成的角的余弦值。111:DDBDAC证明面ABCDBDAC同理BD1⊥AB1.∴BD1⊥面ACB1.(2)AB=BC=BB1G为△AB1C的中心.AC=2aAG=36323a22a∴BG=222229396)36(aaaaa=33a(3)∠BB1G为所求cos∠BB1G=363611aaBBGB5.如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M为棱CＣ1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD．解析：要证A1O⊥平面MBD，只要在平面MBD内找到两条相交直线与A1O都垂直，首先想到DB，先观察A1O垂直DB吗？方法１：发现A1O平分DB，想到什么？（△A1DB是否为等腰三角形）∵A1D＝A1B，DO＝OB，∴A1O⊥DB．方法２：A1O⊥DB吗？即DB⊥A1O吗？DB垂直包含A1O的平面吗？（易见DB⊥平面A1ACC1）再观察A1O垂直何直线？DM？BM？因这两条直线与A1O均异面，故难以直接观察，平面MDB中还有何直线？易想到MO，因MO与A1O相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．证明取CC1中点M，连结MO，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．在矩形A1ACC1中，∵tan∠AA1O=22，tan∠MOC=22，∴∠AA1O=∠MOC，则∠A1OA＋∠MOC＝９０°，∴A1O⊥OM，∵OM∩DB＝O，∴A1O⊥平面MBD．6.如图，在正四面体ABCD中。各面都是全等的正三角形的四面体，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值．解析：要作出CM在平面BCD内的射影，关键是作出M在平面BCD内的射影，而M为AD的中点，故只需观察A在平面BCD内的射影，至此问题解法已明朗．解作AO⊥平面BCD于O，连DO，作MN⊥平面BCD于N，则N∈OD．设AD＝a，则OD＝aa332332，∴AO＝aODAD3622，∴MN＝a66．又∵CM＝a23，∴CN＝aaMNCM62112722．∴CM与平面BCD所成角的余弦值为37CMCN．7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1A的中点，N在AB上，且AN∶NB＝１∶３，求证：C1M⊥MN．证明１设正方体的棱长为ａ，则MN＝a45，C1M＝aaaa23)2(222，C1N＝aaaa441)43(222，∵MN２＋MC1２＝NC1２，∴C1M⊥MN．8.如图，ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝９０°，AB＝BC＝a，AD＝２a，PA⊥平面ABCD，PA＝a．（１）求证：PC⊥CD；（２）求点B到直线PC的距离．证明（１）取AD的中点E，连AC，CE，则ABCE是正方形，△CED为等腰直角三角形．∴AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴AC为PC在平面ABCD上的射影，∴PC⊥CD；解（２）连BE交AC于O，则BE⊥AC，又BE⊥PA，AC∩PA＝A，∴BE⊥平面PAC．过O作OH⊥PC于H，连BH，则BH⊥PC．∵PA＝a，AC＝a2，∴PC＝a3，则OH＝aaaa663221，∵BO＝a22，∴BH＝aOHBO36229.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin55，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.∵∠ADC＝arcsin55,即⊥D′DC＝arcsin55，∴sin∠CDD′＝CDDC＝55∴CD＝5a∴D′D＝2a∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC又在RtΔABC中，AC＝22BCAB＝2a,∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.在RtΔPAB中，可得PB＝2a.在RtΔPAC中，可得PC＝22ACPA＝3a.在RtΔPAD中，PD＝22)3(aa＝10a.∵PC2+CD2＝(3a)2+(5a)＝8a2＜(10a)2∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角.在RtΔAED中∠ADE＝arcsin55，AD＝3a.∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·55＝553a.在RtΔPAE中，tan∠PEA＝AEPA＝aa553＝35.∴∠AEP＝arctan35，即二面角P—CD—A的大小为arctan35.(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.AH为点A到平面PBC的距离.在RtΔPAB中，AH＝PBABPA＝aaa2＝22a.即A到平面PBC的距离为22a.