北大医学数字图像处理1.3数字图像的数学表示

 1. 3 数字图像的数学表示 可把一幅图像的数学表示方法分为确定性表示或随机性表示，通常据不同问题选用不同方法[5]。1.3.1确定性表示图像的实质是记录了“物体（图像源）辐射能量的空间分布”。图像函数表示一幅连续图像：),,,,(tzyxFIλ=5－D：一幅活动的、彩色的、立体图像MultispectralImage其中I表示图像强度；,,,zyx表示空间坐标；t,λ分别表示光波波长和时间。),,(zyxFI=3－D：立体、单色图像),,,(tyxFIλ=4－D：平面、彩色、活动图像),,(tyxFI=3－D：平面、单色、活动图像),(yxFI=2－D：静止的、平面、单色图像连续图像(,,,,)Fxyztλ应受到约束，这里隐含了四项约束：（1）0(,,,,)FxyztAλ≤≤说明光强是实数，非负，有界的，其中最大的亮度不能超过一实数A。（2）xxyyzzLxLLyLLzL−≤≤+−≤≤+−≤≤+实际图像系统和成像尺寸不可能是无穷的。对二维情况，可以1把模型设在一矩形区域内，这样易把连续图像数字化。（3）TtT−≤≤观察时间有限，才符合实际情况。（4）图像函数在定义域内出现。对多光谱图像（如彩色图像或遥感图像），观察到的象场为光谱函数(,,,)Fxytλ对光谱响应()isλ的加权积分：∫∞==0)(),,,(),,(λλλdstyxFtyxFIi（若是单色图像，F仅与空间和时间相关）)(λis为第i个光谱像的光谱响应（即第i个传感器的光谱响应）。交通导航2安检检测识别3多光谱卫星（如美国的测地卫星）拍摄地球上的特定地区，得到的图们不讨论活动图像和立体图像，主要使用的图像函数将限为以离散连续象场，一幅离散图像像不仅有黑白图片，有的还能显示超出人的视觉能力的一些地球特性；可以确定海岸线附近的浅水区或武器装备经过的地方；每当地面上出现干扰，就会引起频谱不断改变，把多光谱计算机图像加以比较，并指示计算机显示出这些改变，就可使这些数据得到增强。这种信息可以帮助洞察伊拉克作战部署，并帮助制定地面作战计划。我),(yxF2－D这是平面坐标与亮度之间的关系。如1.1所述，经采集和量化处理就可就用矩阵方法表示，通常是二维阵列。如由抽样的矩形区域限制MN×矩阵，有图像函数⎢⎡)2,1()1,1(FF⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣=),()2,()1,(),2()2,2()1,2(),1(NMFMFMFNFFFNFFMLLLMM由内存数组与显示坐标一一对应，使用方便。4例1pout.gifPoutarraySize:291x240Bytes:69840Class:uint85figure,imhist(I);Pouthistogram:imagecontracthistogramequalization.I2=histeq(I);figure,imshow(I2);6figure,imhist(I2);EqualizedPouthistogram7例2Sphere.gifs=size(a);s=181181Sphereaarray181*1818Spherebarray181*181Spherecarray181*1819Spheretarray181*181图像的来源：电磁能谱（主要）声波超声波电子（用于电子显微镜的电子束形式）计算机产生ExamplesfromGonzalezandWoods101.示检测图像像素的亮度数据分布的规律，可以发现某一亮度间隔内的像素出现频率的是符合随机分布规律的,可以用概率论的统计模lDitribution。而图像像素亮度的这种不确定性,是来源于图像测量误差和各种干扰存在。利用统计学的方法进行图像描述是重要的事情。用随机变量3.2图像的随机表假如型对其描述，也就是GaussianorNormaX表示一幅图像，可以有如下两种表示其分布的方法：1）密度函数表示法（or分布函数表示法）其关键是给出这个随机变量的概率分布tion)用。X2）分布参数表示法密度函数不可知时，可以用一幅图像中某区域间的数字特征作为区分或识别图像区域的依据：期望(expectation,averageormeanvalue)方差(variance,standarddevia协方差(covariance)。图像函数的随机性表示，在图像处理中广泛应11„二维随机变（1－D）量的联合分布（密度函数表示法）RandomVariableˆ分布函数(D一个随机变tion)定义为istributionFunction)量X的分布函数(DistributionFunc{}+∞∞−≤=xxXP,xF)(F在x处的函数值：表示随机变量X值落入区间)(x],(x−∞上的概率Probab对于任意实数，随机点X落入区间ility。21xx12[,]xx的概率:{}{}{})()(121221xFxFxXPxXPxXxP−=≤−≤=≤ˆ概率密度函数一个随机变量X的概率密度函数定义为{}0()()limxPxXxxdFxpxdxxΔ→≤+Δ≡=Δ概率密度函数在某一点的值：随机变量在该点的概率密度。这个定义可以如下理解：随机变量的值落入该点附近一个无穷小区间内的概率，等于该点的概率密度和区间长度的乘积。Itiseasilyseenthat概率密度函数与分布函数的关系：（2－D）RandomVariable{}{}()(),()1.xFxPXxpxdxpxdxPx−∞∞−∞=≤===∞=∫∫:ˆ联合分布函数与联合密度二维随机变量，对任意一个邻边分别平行于坐标轴的矩),(YXF=12形区域D，则(,)XY的联合分布函数{}(PX,)(,)DYDpxydxdy∈=∫∫布密度（简称联合密度），其性质：①；其中),(yxp为F的分布密度或联合分p0),(≥yx②∫∫+∞③ifiscontinuousat,then∞−+∞=1),(dxdyyxp；∞−),(yxp),(yx{}2(,)(,)PXYDpxyxy∂∈=∂∂.Xˆ边缘分布),Y关于X或Y的边缘分布就是该分量的概率分布。(()(,)Xpxpxy+∞−∞=∫dy（关于X的边缘分布密度函数）()(,)Ypypxydx+∞=∫（关于Y的边缘分布密度函数）−∞这两个定义决定了联合密度与边缘密度间的关系。当X,Y相互独立时，联合密度分布函数成为(,)()()XYpxypxpy=一般若知道随机向量的联合密度，可以决定其他边缘密度，但反过来不行。因为，事件{}xX≤就是{}+∞≤YxX,，所以由的联),(YX合分布易求关于X的边缘分布{}{},PXxPXxY()X(,)xxpxy+∞−∞∞⎡⎤⎢⎣∫dydxpxdx−∞−∞==⎥⎦∫∫≤=≤+13(),ijxy点取值的概率：对离散型随机向量(,)FXY=，它在{},i1,2,,(,)j1,2,ijijPXYxyp=⎧⎫==⎨⎬=⎩⎭LL其中称为F的概率分布，或的联合分布。这里X,Y可能取值的。的性质：①；关于X的边缘分布函数：jip,),(YXFLL,,,,,2121yyxxjip,0,≥jip②∑。∑=ijijp1{}∑===jijiipxXP),2,1(L{}∑===iijjjpyYP),2,1(L关于Y的边缘分布函数：相互独立时，{},()(iiiPXxYyPXxPYy=====,XY当)i。„二维随机向量的数字特征ˆ期望和方差假如随机图像变量缘密度分布分别为),(YX的联合密度为),(yxp，X,Y的边F=(),()XYpxpy，则按概率论中expectationvalueandstandardvariance:)()()()XXXYYY[][]22()()()()(YYXXMEXxpxdxMEYypydyxEXpxdxyEYpydy−∞+∞−∞+∞−∞−∞=−∫∫∫ˆ协方差和相关系数(covarianceandcorrelationcoefficient)对二维随机图像变量(X,Y)，除了研究X,Y各自的期望和方差之σσ+∞===−∫+∞==14外，还需要研究它们相互联系的数字特征。协方差和相关系数就是描述两个随机变量之间联系的数字特征。Covariance：[][]{}[][](,)()()()()(,)XYCovxyExEXyEYxEXyEYpxydxdyσ+∞+∞−∞−∞==−−=−−∫∫其中为联合密度。Covariance反映了两个随机变量X，Y取值之间的相关程度，if),(yxp0XYσ=,说明两个随机变量无关。相关系数（刻画了X,Y之间的线性关系）：若两变量的标准偏差或方差分别为，则0,0≠≠YYXXσσYYXXXYσσXYσρ=and⋅11XYρ−≤≤ifXY,X,Y不相关；0ρ=if0XYρ≠,X,Y之一定的线性相关；间存在关系if1XYρ=,X和YifXY完全线性相关；0ρ,X和Y正相关；ifXY,X和Y负相关。0ρ15如显示样本量为200，ρ=0.99的散点图。„二X的概率密度函数为Ｘ服从参数为μ，σ的正态分布：X～N维正态分布（TheGaussianorNormalDistribution）设一维连续型随机变量σ2),具(μ,体形式为22()21()px=2xexμσπσ−−−∞+∞其中μ，为常数可证itisnoσ，σ0。12122)(−−+∞2=∞−rmalized:∫σπ若服从二维正态分布，其密度函数可表示为dxexσμ),(YXF=2212)12211)expy⎛⎞2112212()((,22(1)21xyxypxμμμμρρσσσσπσσρ⎡⎤−−⎛⎞⎛⎞−−⎟⎜⎢⎥−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟−=−⎢⎥−⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎝⎠其中12(),()EXEYμμ==为边缘密度的均值；2212,XXYYσσσσ==为方差；ρ为相关系数。16„n维随机变量在遥感图像中，每一个像素可以由多个光谱采集的多个数值表示，可看成包含n个分量。若一个n维的随机变量),,,(21nXXXFL=，对任意的n维空间体{}nnnnbxabxaxxxD=,,:),,,(11121LL成立，则),,,(21nXXXFL=的联合分布函数且{}∫∫=∈nnDdxdxdxxxxpDFPLLL2121),,,(12(,,,)npxxxL为X密度=),,,()(dxdxdxxxxpxpLLL),,,21nXXL的联合分布密度，对于1X的边缘(表示为∫∫−)1(322111nnnn维的随机变量的均值为{}),,,(:21nXXXFEML=它的第i个分量为∫==miiiiiidxxpxXE)()(这的边缘密度，可写成=),,,()(dxdxdxdxxxxpxpLLLLCovariance里)(iixp为第i个分量∫∫−+−)1(11121nniinii定义为ijσ()(){})()((1,2,;1,2,,)ijiijjExEXxEXinjσ=−−==LLn对于是第i个分量而iX与第j个分量jX的协方差，ji≠iiσ，ijσ是第i个分量的方差。atrixiX)的CovarianceM,,,(21nXXXL17⎥⎥⎢⎣=ΣnnMMM21是一对称矩阵。⎥⎥⎦⎤⎢⎢nnnnσσσσσσσσLLL22221112相关系数（CorrelationCoefficient）定义为⎢⎡σ11),,2,1;1,2,(njnijjiiijijLL===σσσρ显然，对ji≠，是的相关系数，而jiXX,),,2,1(1niijL==ρijρ，称矩阵=nnnnnRρρρρρρLMMLL2222112⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nρρρM12111为相关阵（CorrelationMatrix）。181.3.3图像噪声ImageNoise[6]图像噪声来源于图像的采集和传输过程，它影响图像处理的输入、采集、处理的各环节及输出结果，是妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接受图像源信息进行理解或分析的因素。一般噪声是随机信号，能用概率统计学的方法认识。ˆProtofNo考虑一幅黑白图像2-D亮度分布，噪声形成对其亮度的干扰。噪声总功率：噪声特征periesise),(yxf),(yxn{}),(2yxnE{}[]{}2