高中数学三角函数知识点及试题总结

高考三角函数1.特殊角的三角函数值：sin00=0cos00=1tan00=0sin300=21cos300=23tan300=33sin045=22cos045=22tan045=1sin600=23cos600=21tan600=3sin900=1cos900=0tan900无意义2．角度制与弧度制的互化：,23600,180000300045600900012001350150180027003600064323243652323.弧长及扇形面积公式弧长公式：rl.扇形面积公式:S=rl.21----是圆心角且为弧度制。r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）,r=22yx(1)正弦sin=ry余弦cos=rx正切tan=xy(2)各象限的符号：sincostanxy+cossin2+O——+xyO—++—+yO-—++—5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+cos2=1。（2）商数关系：cossin=tan（zkk,2）6.诱导公式：记忆口诀：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．口诀：函数名称不变，符号看象限．5sincos2，cossin2．6sincos2，cossin2．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质8、三角函数公式：降幂公式：升幂公式：1+cos=2cos22cos222cos11-cos=2sin22sin222cos19．正弦定理：2sinsinsinabcRABC.余弦定理：2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.三角形面积定理.111sinsinsin222SabCbcAcaB.1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）两角和与差的三角函数关系sin()=sin·coscos·sincos()=cos·cossin·sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin22tan1tan22tan（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等RCcBbAa2sinsinsin。（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；（3）△＝)sin(2sinsin2CBCBa＝)sin(2sinsin2ACACb＝)sin(2sinsin2BABAc；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝Rabc4；（6）△＝))()((csbsass；)(21cbas；（7）△＝r·s。4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）边与角关系：正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r为三角形内切圆半径，p为周长之半。（3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。四．【典例解析】题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC中，ABa，ACb，0ab，154ABCS，3,5ab，则BAC（）A.．30B．150C．0150D．30或0150答案C例1．（1）在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；（2）在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。例2．（1）在ABC中，已知23a，62c，060B，求b及A；（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形解析：（1）∵2222cosbacacB=22(23)(62)223(62)cos045=212(62)43(31)=8∴22.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc∴060.A（2）由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.6287.8161.70.5543,05620A；cos2222cabBca222134.6161.787.82134.6161.70.8398,03253B；0000180()180(56203253)CAB09047.例3．在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Atan的值和ABC的面积。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,4560,105.AA13tantan(4560)2313A,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。例4．（2009湖南卷文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.答案2)3,2(解析设,2.AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．解（1）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25a例6．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.例7．ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得B+C2=π2－A2，所以有cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1－2sin2A2+2sinA2=－2(sinA2－12)2+32；当sinA2=12，即A=π3时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值．解（Ⅰ）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos...bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（Ⅱ）由（Ⅰ）知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及cBbsin的值。∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac。又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。在△ABC中，由余弦定理得：cosA=bcacb2222=bcbc2=21，∴∠A=60°。在△ABC中，由正弦定理得sinB=aAbsin，∵b2=ac，∠A=60°，∴acbcBb60sinsin2=sin60°=23。例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求2tan2tan32tan2tanCACA的值。解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，从而2CA＝60°，故tan32CA.由两角和的正切公式，得32tan2tan12tan2tanCACA。所以,2tan2tan332tan2tanCACA32tan2tan32tan2tanCACA。例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，