理论力学习题-质点动力学基本方程.

理论力学·104··104·第9章质点动力学基本方程一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”)1.凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。(√)2.一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。(×)3.两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。(×)4.质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。(√)5.凡运动的质点一定受力的作用。(×)6.质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。(×)二、填空题1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。2．质点动力学的基本方程是imFa，写成自然坐标投影形式为Fdtsdm22nFvm2bF0。3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。4．质量为m的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)vtxbb，其中0v为初速度，b为常数。则作用于质点上的力F2020()mbvbvt。5．飞机以匀速v在铅直平面内沿半径为r的大圆弧飞行。飞行员体重为P，则飞行员对座椅的最大压力为2(1)vPgr。三、选择题1．如图9.6所示，质量为m的物块A放在升降机上，当升降机以加速度a向上运动时，物块对地板的压力等于(B)。(A)mg(B))(agm(C))(agm(D)02．如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m，弹簧的刚度系数为c，静伸长量为s，原长为0l，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成(B)。(A)0xmcx(B)0)(sxmcx(C)gxmcxs)((D)0)(sxmcx3．在介质中上抛一质量为m的小球，已知小球所受阻力Rkv，Aa图9.6、、第9章质点动力学基本方程·105··105·坐标选择如图9.8所示，试写出上升段与下降段小球的运动微分方程，上升段(A)，下降段(A)。(A)xkmgxm(B)xkmgxm(C)xkmgxm(D)xkmgxml0sxxmOx图9.7图9.8四、计算题9-1质量为m的物体放在匀速转动的水平转台上，它与转轴的距离为r，如图9.9所示。设物体与转台表面的摩擦系数为f，求当物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速。解：选物块为研究对象，受力分析如图所示。应用自然坐标形式的质点动力学微分方程，有0mgFNsFmr2根据静滑动摩擦定律，有sF≤NfF，代入上式，有≤rgf即物体不致因转台旋转而滑出时，水平台的最大转速为rgfmax9-2如图9.10所示离心浇注装置中，电动机带动支撑轮A、B作同向转动，管模放在两轮上靠摩擦传动而旋转。铁水浇入后，将均匀地紧贴管模的内壁而自动成型，从而可得到质量密实的管形铸件。如已知管模内径400mmD，求管模的最低转速n。rgmNFsFABDgm图9.9图9.10解：要使铁水浇入后能均匀地紧贴管模的内壁，管模转动时要有一定的转速。为求管模的最低转速，可选管模内最上端的一微段铁水为研究对象。在临界转速下，铁水不受内理论力学·106··106·壁作用，其只受重力作用。受力分析如图所示。列质点动力学微分方程，有mgDm22解得)/(72sradDg管模的最低转速n为min)/(67307rn9-3物体自地球表面以速度0v铅直上抛。试求该物体返回地面时的速度1v。假定空气阻力2Rmkv，其中k是比例常数，按数值它等于单位质量在单位速度时所受的阻力。m是物体质量，v是物体的速度，重力加速度认为不变。解：物块在上升的过程中，其运动过程如右图(a)所示。应用质点运动微分方程，有2mkvmgdtdvm而dxdvvdtdxdxdvdtdv，所以上式可以写成)(2kvgdxdvv即dxkvgvdv2物体自地球表面铅直上抛到最高点，其速度由0v变成0，而坐标由0变成h。两边积分，有hvdxkvgvdv0020这样有)1ln(2120gkvkh物块在下落的过程中，其运动过程如右图（b）所示。应用质点运动微分方程，有2mkvmgdtdvm上式可写成dxkvgvdv2物体自最高点下落到地面，其速度由0变成1v，而坐标由0变成h。两边积分，有hvdxkvgvdv0021解得0vxvhxm1vxvhxm)a(图)b(图第9章质点动力学基本方程·107··107·21ln21kvggkh这样，有2120ln21)1ln(21kvggkgkvk解得gkvvv200119-4静止中心O以引力2Fkmr吸引质量是m的质点M，其中k是比例常数，OMr是点M的矢径。运动开始时0OMb，初速度为0v并与0OM的夹角为，如图9.11所示。求质点M的运动方程。解：应用直角形式的质点运动微分方程，有mxkmrkFdtxdm2222coscosmykmrkFdtydm2222sinsin上面两式可分别写为0222xkdtxd，0222ykdtyd其微分方程的通解可写为ktBktAxsincos11，ktBktAysincos22代入初始条件bxt0，cos00vdtdxt，00ty，sin00vdtdyt可解得bA1，kvBcos01，02A，kvBsin02质点M的运动方程可写为ktkvktbxsincoscos0，ktkvysinsin09-5如图9.12所示，胶带运输机卸料时，物料以初速度0v脱离胶带，设0v与水平线的夹角为。求物体脱离胶带后，在重力作用下的运动方程。解：建立如图所示的坐标系。物料脱离胶带后只受重力作用，应用质点运动微分方程，有022dtxdm，mgdtydm22即022dtxd，gdtyd22理论力学·108··108·其微分方程的通解可写为BAtx，DCtgty221代入初始条件00tx，cos00vdtdxt，00ty，sin00vdtdyt可解得cos0vA，0B，sin0vC，0D物料脱离胶带后的运动方程可写为cos0tvx，sin2102tvgty0MrxOyM0vF0vxyO图9.11图9.129-6滑翔机受空气阻力Rkmv作用，其中k为比例系数，m为滑翔机质量，v为滑翔机的速度。在0t时，有0vv，试求滑翔机由瞬时0t到任意时刻t所飞过的距离(假设滑翔机是沿水平直线飞行的)。解：滑翔机可视为质点，不妨假设滑翔机由瞬时0t到任意时刻t所飞过的距离为s。应用质点的运动微分方程，有kmvdtsdm22上式可写为kvdtdv上面微分方程的通解为ktCev即ktCedtds，解得DekCskt代入初始条件00ts，00vdtdst可解得0vC，kvD0第9章质点动力学基本方程·109··109·滑翔机由瞬时0t到任意时刻t所飞过的距离为)1(0ktekvs9-7一物体质量kgm10，在变力100(1)Ft牛顿作用下运动。设物体初速度002msv./，开始时力的方向与速度方向相同。问经过多少时间后物体速度为零，此前走了多少路程？解：初始时力的方向与速度方向相同，而且以后变力只是大小改变而方向并未改变，可见物体作变速直线运动。以开始运动时为坐标原点，沿运动方向取坐标轴。应用质点运动微分方程，有)1(10022tdtsdm即)1(1022tdtsd，解得DCttts32355代入初始条件00ts，00vdtdst解得2.00vC，0D物体的运动方程可写为ttts0235532物体的运动速度为2.05102ttdtdsv令物体速度为零，即02.05102tt，解得st02.2，此时，物体的运动的路程为mtttstt07.72.035502.23202.29-8质量为kg2的滑块M在力F作用下沿杆AB运动，杆AB在铅直平面内绕A转动，如图9.13所示。已知ts4.0，t5.0(s的单位为m，的单位为rad，t的单位为s)，滑块与杆AB的摩擦系数为1.0f。试求st2时力的大小。图9.13FBAsMNFsFgm(a)(b)neaBAsMrakaaxaaya理论力学·110··110·解：(1)选滑块M为研究对象，受力分析如图(a)所示。(2)选滑块M为动点，杆AB为动系，由krneayaxaaaaa作M的加速度合成图如图(b)所示。列axa投影方程有neraxaaa其中：在st2时，022dtsdar，222/2.05.08.0smAMane，故有2/2.0smaaanerax列aya投影方程有kayaa其中：在st2时，smdtdsvr/4.0，2/4.04.05.022smvark，故有2/4.0smaakay（3）应用质点运动微分方程，有axsmamgFFsin，ayNmamgFcos其中：当st2时，rad1，NsfFF，代入上式，可得)(2.17sinNmamgFFCxs9-9质量为m的小球C，用两根长为L的细长杆支持，如图9.14所示。球和杆一起以匀角速度绕铅垂轴AB转动，设aAB2，不计杆自重，求各杆所受的力。OACBznCaCCAFCBFmg第9章质点动力学基本方程·111··111·图9.14解：(1)由于球和杆一起以匀角速度绕铅垂轴AB转动，球具有向心加速度nCa如图(a)所示。该加速度大小为2222aLranC(2)选小球C为研究对象，受力分析如图(b)所示。（3）应用质点运动微分方程，有0sinsinmgFFCBCAnCCBCAmaFFcoscos其中：Lasin，LaL22cos，代入上式，可得)(22gaamLFCA，)(22gaamLFCB9-10如图9.15所示，电机A重量为06kN.，通过连接弹簧放在重量为5kN的基础上，弹簧的重量不计。电机沿铅垂线以规律2cosyBtT作简谐运动。式中振幅01cmB.，周期0.1sT，试求支撑面CD所受压力的最大值和最小值。ACD1G2GNFaMCAB(a)MWNFsF(b)图9.15图9.16解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。应用质点运动微分方程，有ygGGGFN121解得tTTBgGGGFN2cos422121其中：kNG6.01，kNG52，0001B.，0.1T。计算可得支撑面CD所受压力的最大值和最小值分别为kNTBgGGGFN84.5422121maxkNTBgGGGFN36.5422121min理论力学·112··112·9-11如图9.16所示，在三棱体ABC的粗糙斜面上放有重为W的物体M，三棱体以匀加速度a沿水平方向运动。为使物件M在三棱体上处于相对静止，试求a的最大值，以及这时M对三棱体的压力。假设摩擦系数为f，并且ftg。解：(1)物件M在三棱体上处于相对静止，物件M加速度和三棱体的加速度a一致如图(a)所示。(2)选物件M为研究对象，受力分析如图(b)所示。应用质点运动微分方程，有agWFFsNcossin0sincosWFFsN其中：NsfFF，解得gffasincoscossinsincosfWFN9-12质量为m的质点受到已知力作用沿直线运动，该力按规律tFFcos0变化，其中0F，为常数。当开始运动时，质点已具有初速度00xv，试求质点的运动规律。解：应用质点运动微分方程，有tFdtsdmcos022即tdtmFdvcos0两边同时积分，并应用初始条件，有tvvtdtmFdv00cos0即tmFvvsin00而上式可写成t