高中数学专题突破(一)高考函数与导数问题的求解策略

菜单新课标·文科数学（安徽专用）利用导数研究函数的单调性是高考的热点，多与一元二次不等式相联系，根据导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，实际上就是讨论导函数f′(x)的函数值正负的问题．菜单新课标·文科数学（安徽专用）已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．【思路点拨】(1)通过f′(x)≥0求单调递增区间；(2)转化为恒成立问题，求a.【规范解答】(1)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a，当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立；菜单新课标·文科数学（安徽专用）当a＞0时，有x≥lna.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为[lna，＋∞)．(2)当a≠0时，∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a＜0.菜单新课标·文科数学（安徽专用）当a＝0时，f′(x)＝ex在R上单调递增，f′(x)＞0恒成立．故当a≤0时，f(x)在定义域R内单调递增．【反思启迪】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.菜单新课标·文科数学（安徽专用）设0＜a≤1，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．【解】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2a(1－a)x－2(1－a)＝2a（1－a）x2－2（1－a）x＋1x，令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1，(1)当a＝1时，g(x)＝1，f′(x)＝1x＞0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)当a≠1时，令f′(x)＝0，即g(x)＝0，其判别式Δ＝4(1－a)(1－3a)，①当0＜a＜13时，Δ＞0，f′(x)有两个零点，x1＝12a－（a－1）（3a－1）2a（1－a）＞0，x2＝12a＋（a－1）（3a－1）2a（1－a），且当0＜x＜x1或x＞x2时，g(x)＞0，∴f′(x)＞0.因此f(x)在(0，x1)与(x2，＋∞)内为增函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＜0，f′(x)＜0，∴f(x)在区间(x1，x2)内是减函数．菜单新课标·文科数学（安徽专用）②当13≤a＜1时，Δ≤0，g(x)≥0，则f′(x)≥0.所以f(x)在(0，＋∞)内为增函数．综上所述，当0＜a＜13时，f(x)在(0，（1－a）－（1－a）（1－3a）2a（1－a）)，(（1－a）＋（1－a）（1－3a）2a（1－a），＋∞)上单调递增，在(（1－a）－（1－a）（1－3a）2a（1－a），菜单新课标·文科数学（安徽专用）（1－a）＋（1－a）（1－3a）2a（1－a）)上单调递减；当13≤a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．菜单新课标·文科数学（安徽专用）利用导数判断函数的零点个数是近两年高考命题的亮点，求解时应把函数的零点存在性定理，函数的单调性、极值点等综合起来考虑，最后数形结合求得结果．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)分a＝0、a＜0和a＞0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2012·福建高考)已知函数f(x)＝axsinx－32(a∈R)，且在[0，π2]上的最大值为π－32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【规范解答】(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈(0，π2)，有sinx＋xcosx0.当a＝0时，f(x)＝－32，不合题意．当a0，x∈(0，π2)时，f′(x)0，从而f(x)在(0，π2)内单调递减．又f(x)在[0，π2]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，π2]上的最大值为f(0)＝－32，不合题意；菜单新课标·文科数学（安徽专用）当a0，x∈(0，π2)时，f′(x)0，从而f(x)在(0，π2)内单调递增，又f(x)在[0，π2]上的图象是连续不断的，故f(x)在[0，π2]上的最大值为f(π2)，即π2a－32＝π－32，解得a＝1.综上所述，函数f(x)的解析式f(x)＝xsinx－32.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．证明如下：由(1)知，f(x)＝xsinx－32，从而有f(0)＝－320，f(π2)＝π－320.又f(x)在[0，π2]上的图象是连续不断的，所以f(x)在(0，π2)内至少存在一个零点．又由(1)知f(x)在[0，π2]上单调递增，故f(x)在(0，π2)内有且仅有一个零点．菜单新课标·文科数学（安徽专用）当x∈[π2，π]时，令g(x)＝f′(x)＝sinx＋xcosx.由g(π2)＝10，g(π)＝－π0，且g(x)在[π2，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈(π2，π)，使得g(m)＝0.由g′(x)＝2cosx－xsinx，知x∈(π2，π)时，有g′(x)0，从而g(x)在(π2，π)内单调递减．当x∈(π2，m)时，g(x)g(m)＝0，即f′(x)0，从而f(x)在(π2，m)内单调递增，菜单新课标·文科数学（安徽专用）故当x∈[π2，m]时，f(x)≥f(π2)＝π－320，故f(x)在[π2，m]上无零点；当x∈(m，π)时，有g(x)g(m)＝0，即f′(x)0，从而f(x)在(m，π)内单调递减．又f(m)0，f(π)0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.在判断函数f(x)在[π2，π]上的零点个数时，先通过其导函数f′(x)在[π2，π]上的变化情况，再得到f(x)在[π2，π]上的变化情况．2．研究函数的零点问题，实质上是通过其导函数的变化情况，得到函数图象的变化情况，数形结合求得结果．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2013·福州模拟)已知函数f(x)＝x2＋alnx的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为10.(1)求实数a的值；(2)判断方程f(x)＝2x根的个数，证明你的结论．【解】(1)因为f(x)＝x2＋alnx，所以f′(x)＝2x＋ax，函数f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2＋a.由2＋a＝10得：a＝8.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋8lnx，令F(x)＝f(x)－2x＝x2－2x＋8lnx.因为F(1)＝－1＜0，F(2)＝8ln2＞0，所以F(x)＝0在(0，＋∞)至少有一个根．菜单新课标·文科数学（安徽专用）又因为F′(x)＝2x－2＋8x≥216－2＝6＞0，所以F(x)在(0，＋∞)上递增，所以函数F(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，即方程f(x)＝2x有且只有一个实根．菜单新课标·文科数学（安徽专用）常见题型及转化方法：(1)不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题；(2)证明不等式，转化为证明函数的单调性问题；(3)证明不等式，转化为函数的最小值大于最大值问题．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【思路点拨】(1)不等式恒成立问题，转化为函数最大值小于或等于0求解；(2)利用函数的单调性求解．(2013·温州模拟)已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)－f(x)≤16x3.菜单新课标·文科数学（安徽专用）【规范解答】(1)令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立．若0＜a＜1，存在x0∈(0，π2)，使得cosx0＝a，当x∈(0，x0)，h′(x)＝cosx－a＞0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)＞h(0)＝0，不合题意，结合f(x)与g(x)的图象可知a≤0显然不合题意，综上可知，a≥1.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)当a取(1)中的最小值1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－16x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－12x2.令G(x)＝1－cosx－12x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－12x2在[0，＋∞)上单调递减，此时G(x)＝1－cosx－12x2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cosx－12x2≤0，所以H(x)＝x－sinx－16x3(x≥0)单调递减．菜单新课标·文科数学（安徽专用）所以H(x)＝x－sinx－16x3≤H(0)＝0，即x－sinx－16x3≤0(x≥0)，即x－sinx≤16x3(x≥0)．所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤16x3.菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.本题(1)中f(x)≤g(x)恒成立，则g(x)的图象应恒在f(x)的图象上方，从而a≤0不合题意．2．与不等式有关的问题最终可转化为函数的最值与0的关系．菜单新课标·文科数学（安徽专用）已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k＜f（x）x－1对任意x＞1恒成立，求k的最大值．【解】(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.因为函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)由(1)知，f(x)＝x＋xlnx，又k＜f（x）x－1对任意x＞1恒成立，即k＜x＋xlnxx－1对任意x＞1恒成立．令g(x)＝x＋xlnxx－1，则g′(x)＝x－lnx－2（x－1）2，令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x＞0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．菜单新课标·文科数学（安徽专用）因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4)．当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，所以函数g(x)＝x＋xlnxx－1在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝x0（1＋lnx0）x0－1＝x0（1＋x0－2）x0－1＝x0∈(3，4)，菜单新课标·文科数学（安徽专用）所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整数k的最大值是3.