高中数学专题突破(四)高考立体几何问题的求解策略

菜单新课标·文科数学（安徽专用）重点考查线面平行和垂直的判定与性质；在线面平行中要注意三角形中位线与平行四边形的应用，在线面垂直中要注意线面垂直与面面垂直性质的应用．(2013·台州模拟)如图1，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC∩BD＝G.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求证：AE∥平面BFD；(3)求三棱锥C—BGF的体积．【思路点拨】(1)由线面垂直可得线线垂直，进而可证线面垂直；(2)将证线面平行转化为证线线平行，而线线平行可由三角形的中位线得到；(3)利用等积法求三棱锥C—BGF的体积．【规范解答】(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，菜单新课标·文科数学（安徽专用）则AE⊥BC.又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF.∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.(2)依题意可知：G是AC中点．∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC＝BE.∴F是EC中点．在△AEC中，FG∥AE，又FG平面BFD.∴AE∥平面BFD.(3)∵AE∥FG，而AE⊥平面BCE.∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF.菜单新课标·文科数学（安徽专用）∵FG是△AEC的中位线，∴FG＝12AE＝1.∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE.∴Rt△BCE中，BF＝CF＝12CE＝2，∴S△CFB＝12·2·2＝1，∴VC—BFG＝VG—BCF＝13·S△CFB·FG＝13.菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.立体几何中的“平行”与“垂直”问题是新课标教材中的重要内容，本题通过线线平行证明线面平行，通过线线垂直证明线面垂直，这是立体几何的常用手段，体现了转化的思想．2．我们利用等积法将不易于求高与底面积的体积计算问题转化为易于求高与底面积的体积计算问题，从而顺利求解．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2013·徐州模拟)如图2，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明PA∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD；菜单新课标·文科数学（安徽专用）【证明】(1)连结AC交BD于O，连结EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO，而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PD⊥DC，菜单新课标·文科数学（安徽专用）∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①同理由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC，∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC，∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB，EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.菜单新课标·文科数学（安徽专用）面面垂直的判定与性质是高考重点考查的内容，在证明和应用时应注意线面垂直与面面垂直的相互转化，在面面平行关系中，应注意面面平行与线面平行关系的转化．(2013·日照模拟)如图3，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点．(1)求证：A1E＝CF；菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1D.【思路点拨】(1)充分利用正方体的对称性，可通过三角形全等证明A1E＝CF；(2)由E、F是正方体对棱的中点，可得四边形EBFD1为菱形，从而得到线线垂直，问题将迎刃而解．【规范解答】(1)由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于BF，与平面ADD1A1交于ED1.又平面BCC1B1∥平面ADD1A1，∴D1E∥BF，同理BE∥D1F.菜单新课标·文科数学（安徽专用）∴四边形EBFD1为平行四边形，∴D1E＝BF，∵A1D1＝CB，D1E＝BF，∠D1A1E＝∠BCF＝90°，∴Rt△A1D1E≌Rt△CBF，∴A1E＝CF.(2)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形EBFD1是平行四边形．AE＝A1E，FC＝FC1，∴Rt△EAB≌Rt△FCB，∴BE＝BF，故四边形EBFD1为菱形．连结EF、BD1、A1C1.∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，菜单新课标·文科数学（安徽专用）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D1⊥A1A，∴B1D1⊥平面A1ACC1.又EF平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1.又B1D1∩BD1＝D1，∴EF⊥平面BB1D1D.又EF平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1D.【反思启迪】证明面面垂直的关键是证明线面垂直，而线面垂直又是通过线线垂直实现的，充分利用正方体的对称性，通过证明四边形EBFD1是菱形证明线线垂直是本题证明的关键．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【解】(1)证明因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC.因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.(2013·南京模拟)如图4，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求证：平面AEC⊥平面ABE；(2)点F在BE上．若DE∥平面ACF，求BFBE的值．菜单新课标·文科数学（安徽专用）因为CE平面BCE，所以CE⊥AB.因为CE⊥BE，AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE.因为CE平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.(2)连结BD交AC于点O，连结OF.因为DE∥平面ACF，DE平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.又因为矩形ABCD中，O为BD中点，所以F为BE中点，即BFBE＝12.菜单新课标·文科数学（安徽专用）与位置关系有关的探索性问题在高考中时常出现，求解时应从结论出发．分析结论成立需要哪些条件，哪些条件已满足，那些未满足的条件，正是我们探索条件是否具备的依据．(2013·潍坊模拟)如图5，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【思路点拨】(1)通过线线平行证明线面平行；(2)先证明四边形DEFG为平行四边形，再证明其为矩形；(3)充分利用“中点”的特征进行推证．【规范解答】(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE平面BCP，所以DE∥平面BCP.菜单新课标·文科数学（安徽专用）(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形．又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形．(3)存在点Q满足条件，理由如下：连结DF，EG，设Q为EG的中点．由(2)知，DF∩EG＝Q，菜单新课标·文科数学（安徽专用）且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG.分别取PC，AB的中点M，N，连结ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点．菜单新课标·文科数学（安徽专用）【反思启迪】1.在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．2．第(3)问为一个探索性问题，通常的处理方法是假设存在满足条件的点(或其他几何量)，利用题设条件进行计算或证明，如果推出矛盾，则不存在；如果推不出矛盾，就说明存在，同时解题的过程就是说理的过程．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(1)求证：CD⊥A′B；(2)求三棱锥A′—BDC的体积；(2013·福州模拟)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝1，AD＝3，AB⊥BC，CD⊥BD，如图6(1)．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如图6(2)．菜单新课标·文科数学（安徽专用）(3)在线段BC上是否存在点N，使得A′N⊥BD？若存在，请求出BNBC的值；若不存在，请说明理由．【解】(1)证明∵平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD，又∵A′B平面A′BD，∴CD⊥A′B.(2)如图(1)，在Rt△ABD中，BD＝AB2＋AD2＝2.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°.在Rt△BDC中，DC＝BDtan30°＝233.∴S△BDC＝12BD·DC＝233.菜单新课标·文科数学（安徽专用）如图(2)，在Rt△A′BD中，过点A′作A′E⊥BD于E，∴A′E⊥平面BCD.∵A′E＝A′B·A′DBD＝32，∴VA′—BDC＝13·S△BDC·A′E＝13·233·32＝13.(3)在线段BC上存在点N，使得A′N⊥BD，理由如下：如图(2)，在Rt△A′EB中，BE＝A′B2－A′E2＝12，∴BEBD＝14.过点E作EN∥DC交BC于点N，则BNBC＝BEBD＝14，菜单新课标·文科数学（安徽专用）∵CD⊥BD，∴EN⊥BD.又A′E⊥BD，A′E∩EN＝E，∴BD⊥平面A′EN，又A′N平面A′EN，∴A′N⊥BD.∴在线段BC上存在点N，使得A′N⊥BD，此时BNBC＝14.