高中数学专题练习题集

高考等差、等比数列及其应用【考纲要求】1．考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题．2．考查运用数列知识解决数列综合题的能力．【课程类型】一对一个性化教学【教学建议】数列是高中的重要内容，考试说明中，等差、等比数列都是C级要求，因而考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等数学思想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的性质，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而且还涉及到函数、不等式、解析几何等方面的知识，基本上都是压轴题．因此希望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有所获，学有所思，学有信心，克服数列难的思想。【复习指导】1．熟练等差数列与等比数列的基本运算．2.数列中na与nS之间的互化关系也是高考的一个热点.3．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转化”等．基础练习1.已知na是等比数列，41252aa，，则13221nnaaaaaa=_____.[解析]数列1nnaa仍是等比数列,其首项是128,aa公比为1.4所以,1223118[1()]324(14)1314nnnnaaaaaa2.设，，，，则数列的通项公式=．[解析]数列是等比数列，则3．数列{an}满足a1＝2，a2＝1，并且an－1－anan·an－1＝an－an＋1an·an＋1(n≥2)，则数列{an}的第100项为.[解析]由已知可得：1an＋1＋1an－1＝2an，n≥2，∴na1是等差数列，∴a100＝150.一.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________．[解析]由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又等比数列中c≠0，所以2q2－q－1＝0，解一元二次方程得q＝1(舍去，否则三个实数相等)或q＝－12，又a＋3b＋c＝a＋3aq＋aq＝－52a＝10，所以a＝－4.5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝_______.[解析]本小题主要考查数列前n项和Sn与通项an的关系，解题的突破口是用an表示Sn.由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)得Sn＋1＝32Sn，所以{Sn}是以S1＝a1＝1为首项，32为公比的等比数列，所以Sn＝123n.考向一等差数列与等比数列的综合应用12a121nnaa21nnnaba*nNnbnbnb11422nnnb【例1】设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式.解：（I）由及，有由，．．．①则当时，有．．．．．②②－①得又，是首项，公比为２的等比数列．（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列．，第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．【巩固练习】1．已知等比数列{an}的公比q＝－12.(1)若a3＝14，求数列{an}的前n项和；(2)证明：对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．解：(1)由a3＝a1q2＝14及q＝－12，得a1＝1，所以数列{an}的前n项和Sn＝3)21(21n(2)证明：对任意k∈N＋，2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝2a1qk＋1－(a1qk－1＋a1qk)＝a1qk－1(2q2－q－1)，由q＝－12得2q2－q－1＝0，故2ak＋2－(ak＋ak＋1)＝0.所以，对任意k∈N＋，ak，ak＋2，ak＋1成等差数列．{}nan,nS11,a142nnSa12nnnbaa{}nb{}na11,a142nnSa12142,aaa21121325,23aabaa142nnSa2n142nnSa111144,22(2)nnnnnnnaaaaaaa12nnnbaa12nnbb{}nb13b11232nnnnbaa113224nnnnaa{}2nna12341331(1)22444nnann2(31)2nnan1nnbb与的关系即可11232nnnaa1(,nnnapaqpq为常数)1nq2．设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足2222234577aaaa,S（1）求数列na的通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmmaaa为数列na中的项.解：（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433()()daadaa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d所以na的通项公式为27nan，前n项和26nSnn。（二）12272523mmmaa(m)(m)a(m)，令23mt，1242mmmaa(t)(t)at86tt，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因为t是奇数，所以t可取的值为1，当1t，2m时，863tt，2573，是数列na中的项；1t，1m时，8615tt，数列na中的最小项是5，不符合.所以满足条件的正整数2m..考向二数列与函数的综合应用【例2】．在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设求数列的前项和.n2n2nnT,lgnnaT1n≥{}na1tantan,nnnbaa{}nbnnS解：（I）设构成等比数列，其中则①②①×②并利用（II）由题意和（I）中计算结果，知另一方面，利用得所以本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.【巩固练习】设函数f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，则a1＋a2＋…＋a7＝_________[解析]记公差为d，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝(a1－3)3＋(a2－3)3＋…＋(a7－3)3＋(a1＋a2＋…＋a7)－7＝(a4－3d－3)3＋(a4－2d－3)3＋…＋(a4＋2d－3)3＋(a4＋3d－3)3＋7a4－7＝7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7a4－7.由已知，7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7a4－7＝14，即7(a4－3)3＋7×3(a4－3)＋7(a4－3)＝0，∴(a4－3)3＋4(a4－3)＝0.因为f(x)＝x3＋4x在R上为增函数，且f(0)＝0，故a4－3＝0，即a4＝3，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×3＝21.221,,,nlll,100,121ntt,2121nnnttttT,1221ttttTnnn得),21(1022131nittttnin.1,2lg,10)()()()()2(2122112212nnTattttttttTnnnnnnnn.1),3tan()2tan(nnnbn,tan)1tan(1tan)1tan())1tan((1tankkkkkk.11tantan)1tan(tan)1tan(kkkk231tan)1tan(nknkknkkbS.1tan3tan)3tan()11tantan)1tan((23nnkknk考向三数列与不等式的综合应用热身：设1271aaa，其中7531,,,aaaa成公比为q的等比数列，642,,aaa成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.【答案】【例3】已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an＋1＝an＋bna2n＋b2n，n∈N*.(1)设bn＋1＝1＋bnan，n∈N*，求证：数列2)(nnab是等差数列；一、设bn＋1＝2·bnan，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．(2)因为an0，bn0，所以an＋bn22≤a2n＋b2n(an＋bn)2，从而1an＋1＝an＋bna2n＋b2n≤2.(*)设等比数列{an}的公比为q，由an0知q0.下证q＝1.若q1，则a1＝a2qa2≤2，故当nlogq2a1时，an＋1＝a1qn2，与(*)矛盾；若0q1，则a1＝a2qa21，故当nlogq1a1时，an＋1＝a1qn1，与(*)矛盾．综上，q＝1，故an＝a1(n∈N*)，所以1a1≤2.又bn＋1＝2·bnan＝2a1·bn(n∈N*)，所以{bn}是公比为2a1的等比数列．若a1≠2，则2a11，于是b1b2b3.33又由a1＝a1＋bna21＋b2n得bn＝a1±a212－a21a21－1，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾．所以a1＝2，从而bn＝a1±a212－a21a21－1＝2.所以a1＝b1＝2.解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进行灵活的处理．【巩固练习】１．已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是_______.(1)．a1＋a3≥2a2(2)．a21＋a23≥2a22(3)．若a1＝a3，则a1＝a2(4)．若a3a1，则a4a2[解析]本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2)．2.已知等比数列{}na中21a，则其前3项的和3S的取值范围是______.[解析]：∵等比数列{}na中21a∴312321111Saaaaqqqq∴当公比0q时，3111123Sqqqq；当公比0q时，3111121Sqqqq∴3,13,S3.等差数列中，已知，，则的取值范围是.答案：(,7]拓展1．（2012年高考（广东理））设数列na的前n项和为nS,满足11221nnnSa,n*N,且1a、25a、3a成等差数列.(Ⅰ)求1a的值;(Ⅱ)求数列na的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数n,有1211132naaa.na158a139a12a1.解析:(Ⅰ)由12123213232725aaaaaaaa,解得11a.(Ⅱ)由11221nnnSa可得1221nnnSa(2n),两式相减,可得122nnnnaaa,即132nnnaa,即11232nnnnaa,所以数列2nna(2n)是一个以24a为首项,3为公比的等比数列.由1223aa可得,25a,所以2293nnna,即32nnna(2n),当1n时,11a,也满足该式子,所以数列na的通项公式是32nnna.(Ⅲ)因为1113323222nnnnn,所以1323nnn,所以1113nna,于是112111111131331113323213nnnnaaa.【考纲要