多目标决策

2019/8/311第六讲多目标决策分析2019/8/312概念在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统决策问题常常是多目标的，例如我们在研究生产过程的组织决策时，既要考虑生产系统的产量最大，又要使产品质量高，生产成本低等。这些目标之间相互作用和矛盾，使决策过程相当复杂使决策者常常很难轻易作出决策。这类具有多个目标的决策总是就是多目标决策。2019/8/313概念多目标决策方法现已广泛地应用于工艺过程、工艺设计、配方配比、水资源利用、环境、人口、教育、能源、企业高速武器系统设计和评价、经济管理等领域。2019/8/314根据决策问题背景的不同，多目标决策（多准则决策）问题可分为多属性决策（有限方案多目标决策问题）和多目标决策（无限方案多目标决策问题）两大类。2019/8/315一般来说，这两类多准则决策的主要区别在于：前者的决策空间是离散的，后者的决策空间是连续的；在本质上，前者是研究已知决策方案的评价选择问题，后者是研究未知决策方案的规划设计问题；在解法上，前者的一些理论与方法是求解后者的基础。2019/8/316目标准则•决策目标：决策问题要达到的目的。•决策准则：用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则。•单目标决策也被称为单准则决策。•在多目标决策中，决策准则也是多个。•多目标决策的关键，是合理的选择和构造目标准则体系，从总体上对可行方案进行比较和选优。2019/8/317多目标决策•在多目标决策问题中，有的目标可以用一个或几个决策准则直接进行评价和比较，有的目标难以直接评价。需要将他们分解成若干级别较低的子目标，直到可以直接用一个或几个准则进行比较和分析为止。形成一个分层结构复杂的目标准则体系。2019/8/318目标准则体系2019/8/319目标准则体系说明•最上一层，通常只有一个目标，称之为总体目标。•最下一层，其中的每个子目标都可以用单一准则评价，称为准则层。•合理的给出表示每个可行方案满意程度的数值，称为满意度。•构建多目标决策问题的目标准则体系，是多目标决策分析的前提。2019/8/3110构建目标准则体系的原则•系统性原则•各子目标要反映所有因素对社会经济活动的整体影响，重视决策问题各环境因素层次性和相关性。•可比性原则•各子目标的分解和设计既要注意不同社会经济系统的横向比较，又要注意同一系统纵向动态分析。•可操作性原则•各评价子目标设计要含义明确，与现行统计指标口径一致，便于采集数据。2019/8/3111目标准则体系的结构•单层次目标准则体系•序列型多层次目标决则体系•非序列型多层次目标准则体系下部分内容2019/8/3112单层次目标准则体系•各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。•这类多目标决策问题，可以在微观经济管理中经常碰到。•比如选购某种设备和装置，一般这都有一些常规的技术和经济指标要求，这些都可以用单层次目标准则体系评价。返回2019/8/3113序列型多层次目标决则体系•目标准则体系的各个目标，都可以按照序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可继续分解，这样一层层按类别有序的进行分解，直到可以按某个准则进行数量评价为止。•前面的海港港址的决策，就是这种类型。返回2019/8/3114非序列型多层次目标准则体系•将所有的子目标按其性质划分为若干层次，最低一层为准则层，构成多层次目标准则体系。但与序列型多层次目标决则体系不同的是，某一层次的各子目标，一般不是相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系。返回2019/8/3115评价准则和效用函数•不同的评价准则度量单位各异，变化方向不同，如何给出可行方案关于全部目标的满意度，是多目标决策的关键。为此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳和综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。•如：效用和效用函数2019/8/3116评价准则和效用函数（续）•目标准则一经确立，任何可行方案实施的效果，均可经过各目标准则而得到的一组效用值，这也表示了该方案对决策主体的价值，都用区间[0，1]上的实数表示。这样任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合可得。2019/8/3117多目标决策问题的共同特点•目标之间的不可公度性–指目标之间没有统一的衡量标准，因此难以比较。•目标之间的矛盾性–某可行方案提高了这一个目标值，可能就会对另一个目标值有所损害。•因而，无法用求解单目标决策问题的分析方法去求解多目标问题。2019/8/3118制定多目标决策的过程明确问题，标明目标和辨别属性实施或重新评价开始了解待解决的多目标问题构造模型并估计参数方案集X属性的值f1(x),…,fn(x)决定决策环境和自然状态价值判断2019/8/3119多维效用并合方法•多目标决策问题有s个评价准则，有m个可行方案ai（i=1,2,……,m）。相应的效用函数为u1,u2,……,us，在s个评价准则下的效用值分别是uj(i),j=1,2,……,s。将s个分效用并合为总效用，并依据总效用对可行方案进行评价选优。•这种多目标决策方法，称为多维效用并合方法。•主要用来解决序列型多层次目标准则体系问题。2019/8/3120效用并合规则和程序•由下而上，分类逐层进行。首先按某种规则并合最低一层各准则的效用值，得到倒数第二层的并合效用值，称为初级并合，同样，再对初级并合的效用值进行第二级并合，得到第三层各子目标的并合效用值。如此逐层进行，可得到可行方案对整个多层结构目标准则体系的总效用值。•总效用值体现了可行方案关于目标准则体系的整体特征以及对于决策主体的总体偏好，称为可行方案的满意度。2019/8/3121多维并合规则•距离规则•代换规则•加法规则•乘法规则•混合规则下部分内容2019/8/3122有关定义•设效用u1，u2，……，us分别在[0，1]上取值，二元函数W=W（u1，u2，……，us）为二维效用函数。•其定义域为n维效用空间上有2n个顶点的凸多面体。•曲面W称为n维效用平面。2019/8/3123距离规则•二维效用的距离规则满足下列条件：–当二效用同时达到最大值时，并合效用才达到最大值。–当二效用同时达到最小值时，并合效用取零效用值。–二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。•这种规则称为距离规则。2019/8/3124距离规则的数学描述•W=W（u1，u2）应满足以下条件：W（1，1）=1W（0，0）=00W(1，u2)1，u2∈[0，1]0W(u1，1)1，u1∈[0，1]W（u1，u2）与距离d成正比例变化。2019/8/3125二维并合的距离规则计算公式•设效用最大值点为Q*(1，1)，最小点为Q(0，0)，两点距离为，点Q(u1，u2)与点Q*之间的距离为d，于是有•则22019/8/3126多维并合的距离规则计算公式•n维效用空间是2n个顶点的凸多面体，其中必有一点Q*(1,1,……,1)为最大值点,即W(Q*)=1。也必有一点Q(0,0,……,0)为最小值点。N维效用空间任一点Q与点Q*的距离为d。点Q*与Q之间的距离为，于是：n2019/8/3127代换规则•二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用达到最高水平一样，形象的说，代换规则反映了效用之间的“一好遮百丑”的特征。2019/8/3128代换规则二维并合公式•W=W(u1,u2)为代换规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1W（0，0）=00W(1，u2)1，u2∈[0，1]0W(u1，1)1，u1∈[0，1]•公式如下：W(u1,u2)=1–(1–u1)(1–u2)=u1+u2+u1u22019/8/3129代换规则多维并合公式•在n维效用空间中，除Q0的并合效用值为零以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于1。•n维效用并合的代换规则公式为2019/8/3130举例•子目标间可以相互替代•例如，设备运行可靠性问题。设备运行可靠性目标可以分解为设备自身可靠性和维修保养两个子目标，这两个子目标效用之间可以相互替代。设备可靠性好，即使维修保养差一些，也能保证设备可靠运行。同样，维修保养好，即使设备可靠性较差，也能保证设备运行可靠，故适合代换规则。返回2019/8/3131加法规则•二维效用并合的加法规则适用于以下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以相互线性的补偿。完满的总效用只有当二效用值均达到最高水平才能实现，加法规则反映了二目标效用之间“好坏搭配”的特征。2019/8/3132加法规则二维并合公式•W=W(u1,u2)为加法规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1W（0，0）=0W(1，0)=ρ1,W(1，0)=ρ2,ρ1+ρ2=1•公式：–ρ1，ρ2称为二效用的权系数，表示各自在并合中的重要程度。2019/8/3133加法规则多维并合公式•n维效用空间各顶点并合效用值，除了Q，Q*以外，其余2n-2个顶点的并合效用值均在0－1间。其中仅有一维效用值为1，其余维效用值为0的n个点并合效用值大小由该效用对并合效用重要程度来决定。•其中，2019/8/3134举例•例如，居民消费水平目标可以分解为吃和用两个子目标，其中一个效用值减少，而另一个效用值增加，可以认为它们之间相互能够补偿，居民消费水平并没有下降。•因此，这里适合与用加法规则。返回2019/8/3135乘法规则•乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代。只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用为0。这种情况恰好与代换规则相反，乘法规则反映了二目标效用之间“不可偏废”的特征。2019/8/3136乘法规则二维合并公式•W=W(u1,u2)为乘法规则确定的二维效用函数，应该满足以下条件：W（1，1）=1W（0，0）=0W(1，0)=W(1，0)=0•公式：–ρ1，ρ2是正常数。2019/8/3137乘法规则多维合并公式•n维效用空间中，除Q*的并合效用值为1以外，凸多面体效用空间的其他2n-1个顶点的总效用值均等于0。•公式：•一般公式：•对数形式：–ρi为正常数。2019/8/3138举例•例如，某管理信息系统的运行功能与可靠性二子目标效用的并合关系，符合乘法法则。功能强而可靠性差的系统，或者可靠性好而功能差的系统，起总体运行质量都是差的，两者之间不能相互代替和补偿。返回2019/8/3139混合规则•混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换，加法和乘法三规则更为一般的情况。当上面的三个规则选用哪个拿不准时，可以考虑该规则。•混合规则的公式•其中，γ为形式因子。2019/8/3140混合规则的公式变形•γ取不同值分别表述上述三种规则之一。–当γ≠0时，公式化为较为规范的形式–当γ=0且c1+c2=1时，为加法规则形式–当γ=0且c1=c2=1时，为代换规则形式2019/8/3141混合规则的公式变形–当γ0时，公式近似乘法规则形式•混合规则的n维效用并合公式返回2019/8/3142AHP方法概述•AHP（AnalyticHierarchyProcess）方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，20世纪70年代初美国著名运筹学家Saaty提出。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效的分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效的综合测度决策者的判断和比较。它能把定性因素定量化，并能在一定程度上检验和减少主观影响，使评价更趋科学化。2019/8/3143递阶层次结构模型•递阶层次结构模型能够反映系统本质属性和内在联系。•构造方法：根据系统分析的结果，弄清系统与环