北京市朝阳区2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题

北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考试数学学科试卷2014.7（考试时间100分钟满分100分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．与角80终边相同的角是A．80B．100C．240D．2802.若角a的终边经过点(1,2)P-，则sina等于A.55-B.255C.55D.255-3.设xR，平面向量(1,1)xa，(,2)xb，若a//b，则x的值为A.2或1B.2或1C.2D.234．若直线经过点A(1,0)，B(2,3)，则直线AB的倾斜角的大小为A．30B．45C．60D．905．已知数列{}na为等差数列，且39a，53a，则9a等于A．9B．6C．3D．276．如图，M是△ABC的边AB的中点，若CMa，CAb，则CBA．2a+bB．2ab（第6题图）C．2a+bD．2ab7.已知为锐角，且4cos()65，则cos等于A.43310B.43310-22-5π12π3yxOC.43310D.433108.函数()2sin()fxx(0,)22的部分图象如图所示，则,的值分别是A.2,3B.4,3C.4,6D.2,6（第8题图）9.已知O是ABC内部一点，且3OAOBOC0++=uuruuuruuur，6ABAC?uuuruuur，60BAC?o，则OBC的面积为A．35B．335C．3D．93510.已知数列{}na和{}nb，满足1kkkaab，1,2,3,k.若存在正整数N，使得1Naa成立，则称数列{}na为N阶“还原”数列.下列条件：①||1kb；②||kbk；③||2kkb，可能．．使数列{}na为8阶“还原”数列的是A．①B．①②C．②D．②③二、填空题：本大题共6小题,每小题4分，共24分，答案写在答题卡上.11．如果1cos2=，且为第四象限角，那么tan=．12.已知点P在直线0xy上，且点P到原点与到直线20xy的距离相等，则点P的坐标为_____.13.已知平面向量a，b满足|a|=3，|b|=2，且a与b的夹角为60，则2ab=.14.已知数列}{na的前n项和42()33nnSanN，则1a，na.15.如图，在坡角为15(15CAD)的山坡顶上有一个高度为50米的中国移动信号塔BC，在坡底A处测得塔顶B的仰角为45（45BAD），则塔顶到水平面AD的距离（BD）约为________米.（结果保留整数，31.732)(第15题图)16.设关于,xy的不等式组2100yxaya,,x表示的平面区域为D.若在平面区域D内存在点),(00yxP，满足00345xy，则实数a的取值范围是__.三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分9分）设函数22()2sinsincoscosfxxxxx.（I）求函数()fx的最小正周期；（II）求函数()fx在区间[0,]2上的最大值和最小值．18.（本小题满分9分）已知点(2,3)A，(2,1)B，直线MN过原点，其中点M在第一象限，MN∥AB，且22MN，直线AM和直线BN的交点C在y轴上.（I）求直线MN的方程；（II）求点C的坐标.19.（本小题满分9分）在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，.coscos)2(CbBca（I）求角B的大小；（II）若3b，求ac的最大值.20.（本小题满分9分）已知数列na满足1212aa，当2n时，1114nnnaaa.（I）设112nnnbaa，证明数列nb是等比数列；（II）求数列na的通项公式；（Ⅲ）设5nnncan，数列nc的前n项和为nS.是否存在整数M，使得nSM恒成立?若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由.北京市朝阳区2013—2014学年度高一年级第二学期期末统一考试数学学科试卷参考答案及评分标准2014.71.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.12345678910DBACABDDDC二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.312.(1,1)或(1,1)13.3714.2，212,nnN15.6816.5[,)7三.解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分9分）解：（I）22()2sinsincoscosfxxxxx2sinsincos+1xxx113sin2cos2222xx2π3sin2).242x（函数()fx的最小正周期2ππ2T.……………………………………………5分（II）因为02x，所以2444x．当242x，即8x时，()fx有最大值，最大值为322；当244x，即0x时，()fx有最小值，最小值为1．……………………9分18.（本小题满分9分）解：（I）由点(2,3)A，(2,1)B的坐标可求得直线AB的斜率31122ABk.又因为MN∥AB，所以直线MN的斜率1k.则直线MN的方程为yx.………………………………………………………4分（II）设(,)Maa（0a），(,)Nbb，由已知直线AM和直线BN的交点C在y轴上，则2,2ab.由22MN，可得22()()22abab，故2ab.直线AM的方程为33(2)2ayxa，令0x，得(0,)2aCa.直线BN的方程为11(2)2byxb，令0x，得(0,)2bCb.所以22abab，化简得ab.将其代入2ab，并且0a，得1a，1b.则C点坐标为(0,1).………………………………………………………9分19.（本小题满分9分）解：（I）因为(2)coscosacBbC，由正弦定理得：(2sinsin)cossincosACBBC.整理得ACBBCCBBAsin)sin(cossincossincossin2.因为(0,)A，所以sin0A.则1cos2B.由(0,)B，所以3B.……………………………………………………………………4分（II）由余弦定理得：2222cosbacacB.将已知代入可得：2232cos3acac.因为2222()()3()3()24acacacacac，所以2()34ac.则23ac，当且仅当3ac时，ac取得最大值为23.………………9分20.（本小题满分9分）解：（I）因为1114nnnaaa，所以11111()222nnnnaaaa即11(2,)2nnbbnnN且1211124baa，2321128baa.故数列nb是以14为首项，12为公比的等比数列.………………………………3分（II）由（Ⅰ）知，11111()()422nnnb，则1111()22nnnnbaa.即11221nnnnaa.故数列2nna是以121a为首项，1为公差的等差数列；21(1)1nnann，所以2nnna.………………………………………………………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）得552nnnnncan2343252222nnnS，23411432522222nnnS，两式相减，有23411111152222222nnnnS，1111(1())1542212212nnnnS，即332nnnS.令32nnnd，则1231104ddd，45116dd，当6n时，1133214282nnnnndnndn恒成立，即当6n时，数列nd是单调递减数列.所以56780nddddd，故有1nd.也即2nS.又因为nSM恒成立所以2M.故存在最小整数2M，使得nSM恒成立.…………………………………9分