数学建模作业8牙膏销售量模型

佛山科学技术学院上机报告课程名称数学建模上机项目牙膏销售量模型专业班级姓名学号一、问题提出根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）。二、问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。三、模型假设记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为1x，公司投入的广告费用为2x，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为3x和4x，134xxx。基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。四、模型建立（显示模型函数的构造过程）1）、为了大致地分析y与1x和2x的关系，首先利用表1的数据分别作出y对1x和2x的散点图。建立程序chengxu1.m如下：y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26];x1=[-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.0500.050.55];x2=[5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80];a=polyfit(x1,y,1);y1=polyval(a,x1);b=polyfit(x2,y,2);x3=5.00:0.05:7.25;y2=polyval(b,x3);subplot(2,1,1);plot(x1,y,'*',x1,y1,'b');title('ͼ1y¶Ôx1µÄÉ¢µãͼ');subplot(2,1,2);plot(x2,y,'o',x3,y2,'b');title('ͼ2y¶Ôx2µÄÉ¢µãͼ')从图1可以发现，随着1x的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型011(1)yx拟合的（其中是随机变量）。而在图2中，当2x增大时，y有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型201222(2)yxx拟合的。综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型20112232(3)yxxx（3）式右端1x和2x称为回归变量（自变量），20112232xxx是给定价差1x，广告费用2x时，牙膏销售量y的平均值，其中的参数0123,,,称为回归系数，由表1的数据估计，影响y的其他因素作用都包含在随机误差中。如果模型选择合适，应该大致服从均值为0的正态分布。五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）2）、确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）：建立程序chengxu2.m如下：x1=[-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.0500.050.55]';x2=[5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80]';X=[ones(30,1)x1x2x2.^2];Y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats结果如下：b=17.32441.3070-3.69560.3486bint=5.728228.92060.68291.9311-7.49890.10770.03790.6594stats=0.905482.94090.00000.0490表2模型（3）的计算结果参数参数估计值参数置信区间017.3244[5.7282，28.9206]11.3070[0.6829，1.9311]2-3.6956[-7.4989,0.1077]30.3486[0.0379,0.6594]2R=0.9054F=82.9409p0.00012s=0.0490结果分析：表2显示，2R=0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于，因而模型（3）从整体来看是可用的。表2的回归系数给出了模型（3）中0123,,,的估计值，即17.3244,1.3070,3.6956,0.34860312。检查他们的置信区间发现，只有2的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量2x（对因变量y的影响）不是太显著，但由于22x是显著的，我们仍将变量2x保留在模型中。六、模型改进3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）：模型（3）中回归变量1x和2x对因变量y的影响是相互独立的，即牙膏销售量y的均值与广告费用2x的二次关系由回归系数2和3确定，而不依赖于价格差1x，同样，y的均值与1x的线性关系由回归系数1确定，而不依赖于2x。根据直觉和经验可以猜想，1x和2x之间的交互作用会对y有影响，不妨简单地用1x，2x的乘积代表它们的相互作用，于是将模型（3）增加一项，得到20112232412(5)yxxxxx在这个模型中，y的均值与2x的二次关系为2241232()xxx，由系数234,,确定，并依赖于价格1x。建立程序chengxu3.m如下：x1=[-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.0500.050.55]';x2=[5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80]';X=[ones(30,1)x1x2x2.^2x1.*x2];Y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats结果如下：b=29.113311.1342-7.60800.6712-1.4777bint=13.701344.52521.977820.2906-12.6932-2.52280.25381.0887-2.8518-0.1037stats=0.920972.77710.00000.0426表3模型（5）的计算结果参数参数估计值参数置信区间029.1133[13.7013,44.5252]111.1342[1.9778,20.2906]2-7.6080[-12.6932，-2.5228]30.6712[0.2538，1.0887]4-1.4777[-2.8518，-0.1037]2R=0.9209F=72.7771p0.00012s=0.0426表3与表2的结果相比，2R有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所进步。并且，所有参数的置信区间，特别是1x,2x的交互作用项12xx的系数4的置信区间不包含零点，所以有理由相信模型（5）比模型（3）更符合实际。4）对模型进一步改进，求解出教程中模型（10）模型的进一步改进如下：完全二次多项式模型：与1x和2x的完全二次多项式模型220113124152(10)yxxxxx相比，模型（5）只少22x项，我们不妨增加这一项，建立模型（10）。这样做的好处之一是MATELAB统计工具箱中有直接的命令rstool求解，并且以交互式画面给出y的估计值y和预测区间。建立程序chengxu4.m如下：x1=[-0.050.250.6000.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.0500.050.55]';x2=[5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.80]';y=[7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26]';x=[x1,x2];rstool(x,y,'quadratic')结果如下：从上表得到模型（10）的回归系数的估计值为012345(,,,,,)(32.0984,14.7436,-8.6367,-2.1038,1.1074,0.7594)故回归模型为：22121212y=32.0984+14.7436x-8.6367x-2.1038xx+1.1074x+0.7594x剩余标准差为0.2083，说明此回归模型的显著性比较好。