数学分析第十九章含参量积分

第19章含参量积分§1含参量正常积分.含参量积分首先本章研究元函数的各种积分问题从本章开始我们讨论多,一、含参量积分的概念(1)d,][.,].,[),()(),(,],[),(],[),(],[.],[],[),(,badcyyxfxIxIxbac,dyxfydcyxfbaxdcbaRyxfx就有记为的函数上取值的则其积分值是在上可积在若此时数为自变量的一元函上的以是定义在时定当固上的二元函数是定义在矩形区域设(2)d,,,].,[)()(),()(),(,],[,],[),(],[],[)(),(}),()(|),{(),(,,baxdxcyyxfxFxFxbadcyyxfbaxbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx就有记为的函数上取值的积分值是在则其上可积的一元函数在作为于固定的若对上的连续函数为定义在其中上的二元函数是定义在设一般地.,含参量积分分含参量x的(正常)积或上的通称为定义在与个函数用积分形式定义的这两,],[)()(ba21d.],[),()(,”的情形有关结论适用于“dcbaxyxfyJy二、含参量积分的连续性.],[),()(,],[],[),(上连续在则函数上连续在矩形若二元函数连续性badcyyxfxIdcbaRyxfd)(19.1定理.),(),(.)(),(),()()(.,,,,,,),()],(),([)()(],[,dccdyyxfyxxfxIxxI00RyxfdcyyxfyxxfxIxxIbaxxxxyxfyxfyyxxdd22112121时，就有只要即一致连续上连续在有界闭区域因，于是证：设当故.证毕dcbayyxfdcyyxfxIxI0x000xxxx0xx].,[),(),(),()(,dlimdlimlim:序即求极限与求积分可换其结论也可写为.],[),()(,],[],[),(,上连续在则函数上连续在矩形若二元函数同理dcbaxyxfyJdcbaRyxfdbadcxyxfbaxyxf0y00yyyy].,[),(),(,dlimdlim即有.],[].,[)()(),()(],[)(),(,}),()(|),{(),(,上连续在则函数上的连续函数是在其中上连续在区域设连续性babaxdxcyyxfxFbaxdxcbxaxdyxcyxGyxfx(6)d,)(19.2定理..],[)(1.19,][],[))()())](()(()(,[10,))()())](()(()(,[)()(),()(,))()((,]1,0[,)()())()(()(1.19上连续在知，定理故由上连续，在故上取值在之间取值时与在当，今作积分换元，令证：要利用定理由于baxFbaxcxdxcxdtxcxftxcxdxcxdtxcxfxdxcyyxfxFtxcxdytxdxcyxcxdtxcy10dddd11220xxdlim例1,,11,1,:22的连续函数是解xx三、含参量积分的可微性.arctan10124d10xxx原式)),()(.(),(),(,],[),()(,],[],[),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxbadcyyxfxIdcbaRyxfxyxfxdddd即且上可微在则上连续都在矩形区域与其偏导数若可微性)(19.3定理.),(),()()(),()(,],,[,:dcyxyxfyxxfxxIxxIdcyyxfxIbaxxxdd得由于是设证.),(),(),(),(),(,0,0,,),(.10,),(),(),(,yxfyxxfyxfxyxfyxxfRyxfxyxxfyxfyxxfxxxxxx就有时，只要从而一致连续上连续在有界闭区域因由微分中值定理当故).(ddcddcyyxfxyxfyxxfyyxfxIxdcx),(),(),(),(.dlimdcxxyyxfxI),(0)),()(.(),(),(dcyyxfxIdcyyxfxdcyyxfxxddd即d10.)0(arctan的导数对于参数求：yyxyx练习1连续，故和时，解：当22][arctanarctan0yxxyyyxyxdddd1010][arctanarctanxxyyyxyx.lnln(d221212102210221)yyyxxyxx)7().())(,()()()())(,(),()(,],[)()(),()(],[],[)(),(,],[],[),(),,(dd,xcxcxfxdxdxcxdxfyyxfxFbaxdxcyyxfxFqpbaxdxcqpbaRyxfyxfxx且上可微在则函数内的可微函数上其值含于为定义在上连续在设可微性)(19.4定理.3.19为常数时，得到定理和特别地，dcd2.)sin()(yyxxxyyF的导数：求练习2.dcos3yyyyyyyyyxyyyyyyxxyyFyyyy2223223sin2sin3sin2sinsinsin2sin)()(22解：).()(0)()()!1(1)(,||,0)()(1xfxtxtftxnxxxxfnn且的各阶导数存在函数充分小时验证当的某个邻域内连续在设,d例2，得由定理连续在原点的某个方邻域内及其偏导数解：由于被积函数txtftxnxfxxntxtftxnxtxFtftxtxFnnnxnd21d219.4,2220)()()!(1)()()!(10)()()!(1)(),()()(),(1).()(,0)()(,0)()()!1(1)()()1(1)(xfxtxtfxtxtftxknxnnknk从而并有依次类推，dd.101)1ln(2xxxId计算积分例3.3.19]1,0[]1,0[)(,)1(,0)0(.10)(解21)1ln(的条件上满足定理在且则设含参量积分：IIIIxIxxd)1ln(2ln11)1ln()1ln(1110111110)1)(1()(21421010221102222arctanddxxxxxxxxxxxI于是，).1(2ln)1(arctan2ln)1ln(10)()0()1(410211028IIIIId.2I8ln故:可得和定理由定理19.219.1.],[],[)()(,],[],[),(上可积和分别在和则函数连续上在矩形区域若函数可积性dcbayJxIdcbaRyxf)(19.5定理ybaxyxfxdcyyxfyxfdcbadddd:]),([]),([,),(,与的积分同时存在两个顺序不同连续的假设下在即.,dddd这里确切地是二次积分它们通称为累次积分求积积然后对求先对后者表示求积求积然后对先对前者表示与分别简记为.),(,),(),(),(yxyxfxyyxfbaxyxfyydcyxfxdcba四、含参量积分的可积性(8)dddddcbabaxyxfyydcyxfxdcbaRyxf),(),(,],[],[),(则上连续在矩形区域若函数积分换序)(19.6定理.几何意义.].,[),()(,0)()(.)()(),(),()(),()(),()(11111，命题得证取故又则，证：记bubauuIuIaIaICuIuIuIydcyufuIuaxyxfyuIydcyxfxuIdcua22222d,dddd).010lnabxxxxIab(d求例4.10,lndddybaxxIxxxybaxyaby故解：因.11ln111106.19,],[1abbayybayyxbaxxyIbaRxyyydddd1010可交换积分次序得故由定理上连续，在由于][.11ln)1ln()()(,abyaIbIIba积分得.10)(3.19).10ln)(yxxyIbyaxxxxyIyay11d(d得由定理令另解：小结1、了解含参量积分的概念；2、掌握含参量积分的连续性、可微性、可积性、换序定理；1）掌握求含参量积分的极限、导数；2）会用含参量积分的微分（积分）换序求定积分。作业：P178,2(1),3,4(1),5(1).§2含参量反常积分(2)d(1)d,].,[,),()(),(,],[,],[,),(],[,),[],[),(baxcyyxfxIxIxbabaxcyyxfbaxcbaRyxf就有记为的函数上取值的则其积分值是在都收敛反常积分固定的若对每一个上定义在无界区域设函数一、一致收敛性及其判别法.,],[)1(含参量反常积分积分含参量x的无穷限反常简称为上的式为定义在称ba如同反常积分与数项级数的关系那样,含参量反常积分与函数项级数在一致收敛性问题及其论证方法上也极为相似。NkNkAAxkuxkucyyxfcyyxf11)(lim)(,lim)d,()d,().(],[,),(,)(),(],,[,,,0),(xIbaMyyxfxIMcyyxfbaxNMcNxI于上在则称含参量反常积分即都有对一切时使得当实数对与函数若含参量反常积分一致收敛定义1(1)dd(1)(3)d(1).),(],,[,,,,0:],[2121AAyyxfbaxNAAcNba都有对一切时使得当实数对一致收敛的充要条件是上在含参量反常积分一致收敛的柯西准则)(19.7定理.,31一致收敛的柯西准则函数项级数参见P0),(d.),0[),[0sin上不一致收敛但在其中上一致收敛在试证含参量反常积分yyxy例1).(.0,0sinsinsinddd(1):证明注收敛又uuyuuAxuuxyuAyxyA1.dsin01,2cos11dsin10.dsin]1,0[sin,1sin0lim.01dsin10dsindsinP274收敛，单调趋于收敛上连续，在事实上，收敛注：参上册xxxxAAxxxxxxxxxxxxxxxxxxx.,,0,0sindAuuuMAM就有时使当.),[,,0sinsinsin上一致收敛在就有时，对一切则当取也就是yMAδAxyxNANyxyAxAyxyMuuud)(dd.sinsin,0,0,0,0000sinMxuuuuuuxMuuuddd(2)使得收敛.),0(,,0000sin0sinsinsin0sin21内不一致收敛在也就是就有现令yuuyuyxyMxuuuuyxyuuMddddd20)(d1.),0(),[0内不一致收敛）在（；其中上一致收敛在，试证）（yxexy练习1.)1(xeeAyxeAAxAxyxye，证：d0.,,0,00lim00AAAeAAAe时当，又.Axy