硕 士 学 位 论 文 - 浙江大学数学系

硕士学位论文论文题目多次数B样条曲线作者姓名韩敬利指导教师汪国昭教授吴正昌教授学科(专业)应用数学所在学院理学院提交日期2007年5月浙江大学申请硕士学位论文多次数B样条曲线作者：韩敬利学科专业：计算机辅助几何设计与计算机图形学指导教师：汪国昭教授浙江大学数学系浙江大学图像图形研究所2007年5月Multi-degreeB-splinecurvesByHanJingli(ComputerAidedGeometricDesignandComputerGraphics)AThesisPresentedtoTheGraduatedSchoolofZhejiangUniversityinPartialFulfillmentoftheRequirementsfortheDegreeofMasterThesisSupervisor:ProfessorGuozhaoWangDepartmentofMathematicsInstituteofComputerGraphicsandImageProcessingZhejiangUniversityHangzhou,P.R.ChinaMay,2007浙江大学硕士学位论文目录摘要…………………………………………………………………………………………...ⅢAbstract………………………………………………………………………………………Ⅳ第一章绪论…………………………………………………………………………………...1§1.1自由曲线曲面的发展………………………………………………………….......1§1.2本文研究内容………………………………………………………………….......4第二章多次数B样条基函数………………………………………………………………...7§2.1多次数样条空间…………………………………………………………...............7§2.2准备知识……………………………………………………………………….......8§2.3多次数B样条基函数构造算法…………………………………………………10§2.4多次数B样条基函数性质…………………………………………….................12第三章多次数B样条曲线的构造及其性质……………………………………………….16§3.1多次数B样条曲线的构造……………………………………………..................16§3.2多次数B样条曲线的性质…………………………………………......................16第四章多次数B样条曲线的B样条表示…………………………………………………20§4.1(,)次多次数B样条曲线……………………………………......................20k1k+§4.2(,)次多次数B样条曲线……………………………………….................23k2k+§4.3(,,k1k+2k+)次多次数B样条曲线..……………………………….................27第五章总结和展望………………………………………………………………………….28§5.1本文工作总结…………………………………………………………………….28§5.2未来工作展望…………………………………………………………………….28I浙江大学硕士学位论文参考文献……………………………………………………………………………………...29致谢…………………………………………………………………………………………...33II浙江大学硕士学位论文摘要B样条是曲线曲面造型的一个重要工具，但B样条也存在着一定的缺陷．在实际产品设计中，往往会出现一条曲线是不同次数曲线段的连续拼接，B样条方法在表示此类曲线时，相应的控制多边形需要达到一定的要求才能使相应的曲线段退化到设计需要的次数，这样就会使设计过程相对的繁琐且数据储存量大．本文通过得出多次数B样条基函数进而构造多次数B样条曲线．多次数B样条曲线是参数分段多项式表示，且分段次数可以不同．当多次数B样条曲线中各曲线段次数相同时，曲线退化到B样条曲线．多次数B样条曲线保1nC−连续，其中为相接两段曲线段次数中的较小次数．在应用中多次数B样条曲线更容易表示直线和齿状线，例如只用两个控制顶点就可以表示一条直线段，这就节省了一定量的数据储存．n本文首先回顾了计算机辅助几何设计的发展历程，给出了论文的研究背景．本文第二章给出了多次数B样条基函数的构造过程．利用积分迭代的方法得出基函数的表示公式．多次数B样条基函数具有与传统B样条基函数类似的性质，如正性、归一性、局部支柱性等，此外多次数B样条基函数具有次数可异性，在本章中给出了性质的证明．本文第三章给出了多次数B样条曲线的构造过程．多次数B样条曲线同样具有传统B样条曲线的类似的性质，如局部可调性，变差缩减性等，在本章中给出了多次数B样条曲线的性质的证明．同时给出了一些多次数B样条曲线的应用，用多次数B样条曲线表示能节约一定的数据储存量．本文第四章讨论了曲线多次数B样条表示与其传统B样条表示之间的转换，即两种表示形式的控制多边形的转换关系，并得出从多次数B样条表示到其B样条表示的转换过程是一系列的割角过程，同时本文给出了此割角函数．本文在第五章给出了结论和展望．关键词：计算机辅助几何设计；B样条曲线；多次数B样条基函数；多次数B样条曲线；转换函数；割角III浙江大学硕士学位论文AbstractB-splinemodelisanimportantmodelingtoolforCAGD,howeveritalsohascertainflaws.Intheactualproductdesign,curveissometimescomposedofpolynomialsegmentswithvariousdegrees.UsingB-splinemodeltodescribethiskindofcurves,thecorrespondingcontrolpolygonmustmeetcertainrequirements,thismakethedesigncomplexandbigstorage.Inthispaperweproposemulti-degreeB-splinebycomputingthebasisfunctionsformulti-degreeB-spline.Multi-degreeB-splinesareB-spline-likecurvesthatarecomprisedofpolynomialsegmentsofvariousdegrees.Multi-degreeB-splinesareageneralizationofB-splinecurvesinthatifallcurvesegmentsinanmulti-degreeB-splinehavethesamedegree,thenitdegeneratestoaB-splinecurve.Thecurvesareatleast1nC−,whichnisthesmalleroftwoadjoiningcurvesegments.Multi-degreeB-splinecurvescaneasilygetcuspidorlinearlikeappearance,whenthereisalinesegmentinmulti-degreeB-spline,wecanjustusetwocontrolpointstomakeit,somulti-degreeB-splinemodelcansavesomestorage.Theresearchbackgroundisintroducedinthechapterone.Theconstructionofthebasisfunctionsformulti-degreeB-splineandcorrespondingproofaregiveninthechaptertwo.Thebasisfunctionsformulti-degreeB-splinehavesomegoodpropertieslikepositivity,weighting,segmentedpolynomialpropertiesandsoon.Theconstructionofmulti-degreeB-splinecurvesandcorrespondingproofaregiveninthechapterthree.Multi-degreeB-splinehavelocalsupport,obeytheconvexhullandvariationdiminishingproperties.Someapplicationsofmulti-degreeB-splinecurvesisdiscussedinthischapter.Theequivalentrepresentationofmulti-degreeB-splineas“expanded-form”controlpolygon,whichisaconventionalB-splineisgiveninthechapterfour.Thischaptergivethegeneralexpressionsforthetransformation,andalsoprovesthattransformationisaseriesofcornercutting.Inthechapterfivewedrawtheconclusionandtalkaboutsomeprospects.Keywords:CAGD,B-spline,thebasisfunctionsforMulti-degreeB-spline,Multi-degreeB-splinecurves,transformation,cornercuttingIV浙江大学硕士学位论文第一章绪论计算机的出现给造船、飞机和汽车制造等领域带来了很大的变化，为了利用计算机来帮助解决设计和制造中出现的问题，计算机辅助设计与制造(CAM/CAD)技术应需而生并得到了迅猛的发展．在产品初始设计阶段，描述其外形的曲线或曲面常常只有大致形状或只知道它通过一些空间点列，这类没有数学表达式的曲线或曲面称为自由曲线或自由曲面，CAM/CAD从一开始就与曲线曲面造型技术紧密联系在一起．1974年，BarnhillR.E.和RiesenfeldR.F.[1]首先提出计算机辅助几何设计一词，简称为CAGD(ComputerAidedGeometricDesign)，用来描述计算机辅助设计（ComputerAidedDesign）中有关外形的数学方法的研究．自由曲线曲面的表示、设计、显示、分析以及规格、处理(包括数据结构、数据库、图形的信息形式和调整方式等)等问题，是计算机辅助几何设计的主要研究对象和内容．计算机辅助几何设计(CAGD:ComputerAidedGeometricDesign)作为一个非常有用的曲线曲面造型工具，其首要任务就是建立自由曲线曲面的数学模型，它的产生和发展极大的影响着CAD/CAM技术的水平．所以随着CAD/CAM技术的进步CAGD做为一个新的学科开始蓬勃发展，且成为技术革新的重要手段．计算机辅助几何设计是代数几何、微分几何、函数逼近论、计算数学和数控技术的边缘科学．在20世纪60年代典型的曲面表示中，昀著名和昀实用的是由法国雷诺汽车公司的工程师Bézier提出的Bézier技术和美国机械工程师Coons提出的Coons技术，Bézier、Coons等大师奠定了CAGD的理论基础．之后在工业领域的带动下，20世纪70年代Gordon和Riesenfeld提出B样条技术，20世纪80年代典型的曲面表示是有理B样条技术．非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline,简称NURBS)曲线，它兼有B样条曲线