高中数学第三章不等式3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.2简单的线性规划问题课件新人教

3．3.2简单的线性规划问题考纲定位重难突破1.了解线性规划中的基本概念．2.会用图解法解决线性规划问题．3.能利用线性规划解决实际应用问题.重点：求目标函数的最值问题．难点：用线性规划解决实际应用问题.01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业[自主梳理]线性规划中的基本概念名称意义线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求或所涉及的变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的_________________可行解满足的解(x，y)二元一次最大值最小值二元一次解析式线性约束条件名称意义可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的可行解线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的_______问题可行解最大值最小值最大值或最小值[双基自测]1．已知变量x、y满足条件x≥1，y≤2，x－y≤0，则x＋y的最小值是()A．4B．3C．2D．1解析：设x＋y＝b，则y＝－x＋b，画出可行域，如图所示．利用图解法，得当直线y＝－x＋b过点M时，b取最小值．由x＝1，x－y＝0，得M(1,1)．所以b的最小值为2.答案：C2．若x≥0，y≥0，x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为()A．－1B．1C．2D．－2解析：根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示．令z＝0，作直线l：y－x＝0.当直线l向下平移时，所对应的z＝x－y的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，z＝x－y取得最大值．顶点M是直线x＋y＝1与直线y＝0的交点，解方程组x＋y＝1，y＝0，得顶点M的坐标为(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1，故选B.答案：B3．z＝x－y在2x－y＋1≥0，x－2y－1≤0，x＋y≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A．(0,1)B．(－1，－1)C．(1,0)D.12，12解析：可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝12，y＝12时，z＝0.排除选项A，B，D，故选C.答案：C4．若实数x，y满足x＋y－2≥0，x≤4，y≤5，则S＝x＋y的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示，平移直线x＋y＝0，当过点C(4,5)时，S有最大值，其最大值为S＝4＋5＝9.答案：9探究一求线性目标函数的最值[典例1](1)(2016·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，2x＋3y－6≥0，3x＋2y－9≤0，则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17[解析]由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分)．当直线2x＋5y－z＝0过点A(3,0)时，zmin＝2×3＋5×0＝6，故选B.[答案]B(2)(2016·高考全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．[解析]由题意画出可行域(如图所示)，其中A(－2，－1)，B1，12，C(0,1)，由z＝x＋y知y＝－x＋z，当直线y＝－x＋z过点B1，12时，z取最大值32.[答案]32求线性目标函数最值问题的一般步骤1．(1)设变量x，y满足约束条件x－2≤0，x－2y≤0，x＋2y－8≤0，则目标函数z＝3x＋y的最大值为()A．7B．8C．9D．14(2)设变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－y－2≤0，y≥1，则目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5解析：(1)画出约束条件x－2≤0，x－2y≤0，x＋2y－8≤0表示的可行域，如图阴影部分所示，由x－2＝0，x＋2y－8＝0，得A(2,3)．当直线z＝3x＋y过点A时，z取得最大值9，故选C.(2)由线性约束条件画出可行域(如图所示)．由z＝x＋2y得y＝－12x＋12z，12z的几何意义是直线y＝－12x＋12z在y轴上的截距，要使z最小，需使12z最小，易知当直线y＝－12x＋12z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3，故选B.答案：(1)C(2)B探究二求非线性目标函数的最值[典例2]设x，y满足条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3.(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；(2)求v＝yx－5的最大值与最小值．[解析]画出满足条件的可行域如图所示，(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以u最大值＝73，u最小值＝0.(2)v＝yx－5表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，kBD最大，kCD最小，又C(3,8)，B(3，－3)，所以v最大值＝－33－5＝32，v最小值＝83－5＝－4.非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有：①x2＋y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；x－a2＋y－b2表示点(x，y)与点(a，b)的距离．②yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率y－bx－a表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．2．已知变量x，y满足x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1.(1)设z＝yx，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．解析：不等式组x－4y＋3≤0，3x＋5y－25≤0，x≥1表示的可行域如图阴影部分所示．由x＝1，3x＋5y－25＝0解得A1，225；由x＝1，x－4y＋3＝0解得C(1,1)；由x－4y＋3＝0，3x＋5y－25＝0解得B(5,2)．(1)∵z＝yx＝y－0x－0，∴z的最小值即为可行域中的点与原点O连线的斜率的最小值，观察图形可知zmin＝kOB＝25.(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域内的点到原点O的距离的平方，结合图形可知，zmin＝|OC|2＝2，zmax＝|OB|2＝29，所以2≤z≤29.探究三已知目标函数的最值求参数[典例3]若实数x，y满足不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是________．[解析]如图，由x＝2，x＋2y－a＝0.得x＝2，y＝a－22，代入x－2y＝2中，解得a＝2.[答案]2含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值．(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值．3．已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0.若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3B．2C．－2D．－3解析：作出可行域如图．①当a0时，显然z＝ax＋y的最大值不为4；②当a＝0时，z＝y在B(1,1)处取得最大值，为1，不符合题意；③当0a1时，z＝ax＋y在B(1,1)处取得最大值，zmax＝a＋1＝4，故a＝3，舍去；④当a＝1时，z＝x＋y的最大值为2；⑤当a1时，z＝ax＋y在A(2,0)处取得最大值，zmax＝2a＝4，得a＝2，符合题意．综上，a＝2.答案：B探究四简单的线性规划问题的实际应用[典例4]某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店．从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？[解析]将已知数据列成下表：商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)吨、(8－y)吨、[5－(12－x－y)]＝(x＋y－7)吨，于是总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126.∴线性约束条件为12－x－y≥0，7－x≥0，8－y≥0，x＋y－7≥0，x≥0，y≥0，即x＋y≤12，0≤x≤7，0≤y≤8，x＋y≥7，目标函数为z＝x－2y＋126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示．作出直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点(0,8)时，在可行域内，z＝x－2y＋126取得zmin＝0－2×8＋126＝110，即x＝0，y＝8时总运费最少．安排的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．4．(2016·高考全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品Ax件，产品By件，依题意，得x≥0，y≥0，1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(图略)，易知最优解为x＝60，y＝100，此时Emax＝216000.答案：216000对参数的含义不明致误[典例]设实数x，y满足不等式组1≤x＋y≤4，y＋2≥|2x－3|.(1)画出点(x，y)所在平面区域；(2)设a－1，在(1)所求的区域内，求函数z＝y－ax的最大值和最小值．[解析](1)已知不等式组等价于1≤x＋y≤4y＋2≥2x－3或2x－3≥01≤x＋y≤4，y＋2≥3－2x，2x－3＜0.从而得点(x，y)所在的平面区域为图中所示的阴影部分(含边界)．其中AB：y＝2x－5；BC：x＋y＝4；CD：y＝－2x＋1；DA：x＋y＝1.(2)z表示直线l：y－ax＝z在y轴上的截距，且直线l与(1)中所求区域有公共点．∵a－1，∴当直线l过顶点C时，z最大．∵C点的坐标为(－3,7)．∴z的最大值为7＋3a.如果－1a≤2，那么当直线l过顶点A(2，－1)时，z最小，即z最小值为－1－2a.如果a2，那么当直线l过顶点B(3,1)时，z最小，最小值为1－3a.[错因与防范](1)去掉绝对值号时，容易漏掉2x－30时的情况．另外，当a－1时，在求z＝y－ax最值时，不去进一步讨论，导致失分．(2)求解参数与斜率有关的问题时，可先作出线性约束条件所表示的平面区域，充分利用斜率的特征加以转化，一般情况下需分类讨论，如本题中可将条件a－1分为－1a≤2和a＞2两种情况分别求目标函数的最小值，经讨论求解的结果才是完