定积分的概念讲义

1定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念①分割如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，区间[xi－1，xi]的长度1iiixxx。②近似取代“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③求和作和式i＝1nf(ξi)Δx＝i＝1nb－anf(ξi)，④取极限当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作abf(x)dx.即：1limninibbafxdxfan注：在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．（2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()fx连续且恒有()0fx。那么定积分()bafxdx表示由直线,xaxb（ab），0y和曲线()yfx所围成的曲边梯形的面积。(3)定积分的性质①abdxba1②abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)．（其中k是不为0的常数）（定积分的线性性质）③ab[f1(x)±f2(x)]dx＝abf1(x)dx±abf2(x)dx.（定积分的线性性质）④abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中acb)．（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx2③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)xdx分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。即：215(1)2xdx思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢？改变了积分上、下限，被积函数在[2,2]上出现了负值如何解决呢？例2．求曲线2yx与x=1,y=0所围成的区域的面积解：①分割将区间0,1等分为n个小区间：10,n，12,nn，…，1,iinn，…，1,nnnn，每个小区间的长度为11iixnnn②近似取代过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为21in为高，x1n为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次为：210n，211nn，221nn，…，211nnn③求和所有这些小矩形的面积之和为nS=210n+211nn+221nn+…+211nnn=2222310121nn性质1性质4AMNBAMPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形12yxo3=312116nnnn=111126nn④取极限1111limlim1263nnnSSnn【习题精练】1.函数2fxx在区间1,iinn上，（）A.fx的值变化很小B.fx的值变化很大C.fx的值不变化D.当n很大时，fx的值变化很小答案：D2.当n很大时，函数2fxx在区间1,iinn上的值，可以用下列函数值近似代替的是（）A.1fnB.2fnC.ifnD.0f答案：C3.“以直代曲”中，函数fx在区间1,iixx上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值ifxB.只能是右端点的函数值1ifxC.可以是该区间内任一点的函数值if（1,iiixx）D.以上答案均正确答案：C4.设fx在,ab上连续，将,abn等分，在每个小区间上任取i，则bfxdxa是（）A.1limninifB.1limninibafnC.1limniinifD.11limniiinif答案：B45.设fx在,ab上连续，则fx在,ab上的平均值为（）A.2fafbB.bfxdxaC.12bfxdxaD.1bfxdxaba答案：D6.已知和式1123(0)ppppPnpn当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为（）A．dxx101B．dxxp10C．dxxp10)1(D．dxnxp10)(答案：B7.下列定积分为1是（）A．dxx10B．dxx10)1(C．dx101D．dx1021答案：C8.求由1,2,yxeyx围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（）A．［0，2e］B．［0，2］C．［1，2］D．［0，1］答案：B9.由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．答案：2π0|cos|xdx或204cosxdx。10.计算1201xdx=。答案：π4。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。11.①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？（1）3π40sindxx；（2）01edxx；（3）1213lndxx．答案：（1）正(2)正(3)负。②利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．10dxx，120dxx，130dxx。答案：10dxx≥120dxx≥130dxx。12.计算下列定积分：121(1)(1)d3xx；41(2)(3)dxx；520(3)cosdxx；232(4)dxx。答案：(1)52；(2)452；(3)0；(4)0。13.利用定积分表示图中四个图形的面积：答案：(1)adxxS02；(2)212dxxS；(3)012022]1)1[(]1)1[(dxxdxxS；(4)badxS．【课下练习】1.设函数0fx，则当ab时，定积分bfxdxa的符号（）A.一定是正的B.一定是负的C.当0ab时是正的，当0ab时是负的D．以上结论都不对答案：A2.下列式子中不成立的是（）A.22sincos00xdxxdxB.22sin:cos00xdxxdxC.sincos00xdxxdxD.sincos00xdxxdx答案：C3.1321(tansin)xxxxdx=（）A．0B.13202(tansin)xxxxdxC．03212(tansin)xxxxdxD。13202|tansin|xxxxdx答案：AxOay=x2(1)xO2–1y=x2(2)yyy=(x-1)2-1Ox–12(3)xabOy=1(4)yy64.由直线1,xyxy，及ｘ轴所围成平面图形的面积为（）A．dyyy101B。dxxx2101C．dyyy2101D。dxxx101答案：C5.和式111122nnn当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为。答案：dxx1011。6.曲线1,0,2yxxy，所围成的图形的面积可用定积分表示为．答案：dxx102)1(7.计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+…+n2=1(1)(21)6nnn）答案：138.求由曲线1yx与1,3,0xxy所围的图形的面积.答案：69.计算20()fxdx，其中,2,01,()5,12.xxfxx答案：610.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：202bkbWkxdx。