2003年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]

高考复习资料网年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1．已知2(x，0），54cosx，则2tgx（）（A）247（B）247（C）724（D）7242．圆锥曲线2cossin8的准线方程是（）（A）2cos（B）2cos（C）2sin（D）2sin3．设函数2112)(xxfx00xx，若1)(0xf，则0x的取值范围是（）（A）（1，1）（B）（1，）（C）（，2）（0，）（D）（，1）（1，）4．函数)cos(sinsin2xxxy的最大值为（）（A）21（B）12（C）2（D）25．已知圆C：4)2()(22yax（0a）及直线l：03yx，当直线l被C截得的弦长为32时，则a（）（A）2（B）22（C）12（D）126．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（）（A）22R（B）249R（C）238R（D）223R7．已知方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则||nm（）（A）1（B）43（C）21（D）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线1xy与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为32，则此双曲线的方程是（）高考复习资料网（A）14322yx（B）13422yx（C）12522yx（D）15222yx9．函数xxfsin)(，]23,2[x的反函数)(1xf（）（A）xarcsin1[x，1]（B）xarcsin1[x，1]（C）xarcsin1[x，1]（D）xarcsin1[x，1]10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点0P沿与AB的夹角的方向射到BC上的点1P后，依次反射到CD、DA和AB上的点2P、3P和4P（入射角等于反射角），设4P的坐标为（4x，0），若214x，则tg的取值范围是（）（A）（31，1）（B）（31，32）（C）（52，21）（D）（52，32）11．)(lim11413122242322nnnCCCCnCCCC（）（A）3（B）31（C）61（D）612．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（）（A）3（B）4（C）33（D）6二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13．92)21(xx的展开式中9x系数是14．使1)(log2xx成立的x的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM21534高考复习资料网①②③④⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤17．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60，且|1|z是||z和|2|z的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA，D、E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G（I）求BA1与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II）求点1A到平面AED的距离19．（本小题满分12分）已知0c，设P：函数xcy在R上单调递减Q：不等式1|2|cxx的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南102arccos(）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本小题满分14分）DEKBC1A1B1AFCGO北东Oy线岸OxPOr(t)P45海高考复习资料网a，在矩形ABCD中，4AB，aBC4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且DADCCDCFBCBE，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。22．（本小题满分12分，附加题4分）（I）设}{na是集合|22{tsts0且Zts,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31a，52a，63a，94a，105a，126a，…将数列}{na各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35691012————…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4分，但全卷总分不超过150分）设}{nb是集合tsrtsr0|222{，且},,Ztsr中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160kb，求k.2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)答案一、选择题1．D2．C3．D4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．C11．B12．A二、填空题13．22114．（-1，0）15．7216．①④⑤三、解答题：OPAGDFECBxy高考复习资料网．解：设)60sin60cosrrz，则复数.2rz的实部为2,rzzrzz由题设.12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222zrrrrrrrrrzzzzzzzz即舍去解得整理得即18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点，连结EF、FC，.32arcsin.323136sin.3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABDBAEBEGEBGEBBAABCDFCEGEDFDEFFDFDFGEFEFDDFGADBGDECDEFABCDCBACCED（Ⅱ）解：,,,FABEFEFEDABED又.36236232222,.,.,.,.,111111111111111的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AEDAABBAAAKAABAAEDAKAAEDKAKAEKAAEABAAEDABAAEDAEDEDABAED19．解：函数xcy在R上单调递减.10c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为RcxxyRcxx).,1[]21,0(.1,,.210,,.21121|2|.2|2|,2,2,2,22|2|的取值范围为所以则正确且不正确如果则不正确且正确如果的解集为不等式上的最小值为在函数ccQPcQPccRcxxcRcxxycxccxcxcxx20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在时刻：（1）台风中心P（yx,）的坐标为.22201027300,2220102300tytx此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22tryyxx其中,6010)(ttr若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有高考复习资料网)6010()0()0(222tyx即22)22201027300()2220102300(tt2412,028836,)6010(22tttt解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设)10(kDADCCDCFBCBE由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：0)12(2ykax①直线GE的方程为：02)12(ayxka②从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程022222ayyxa整理得1)(21222aayx当212a时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212a时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。当212a时，点P到椭圆两个焦点（),21(),,2122aaaa的距离之和为定值2。当212a时，点P到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122aaaa的距离之和为定值2a.22．（本小题满分12分，附加题4分）（Ⅰ）解：（i）第四行17182024第五行3334364048（ii）解：设0022100tsa，只须确定正整数.,00ts数列}{na中小于02t的项构成的子集为},0|2{20tttss其元素个数为.1002)1(,2)1(000020ttttCt依题意满足等式的最大整数0t为14，所以取.140t因为100－.1664022,8s,181410000214asC由此解得（Ⅱ）解：,22211603710kb令}0|22{2B,(}1160|{rtsrCBcMts其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010cBccBccBcM现在求M的元素个数：},100|222{}2|{10tsrcBctsr其元素个数为310C：}.70|222{}222|{1071010srcBcrs某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027rcBcCr某元素个数为.1451:2327310710CCCkC高考复习资料网