高中数学：函数的奇偶性与周期性

第1页共6页高中数学：函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有________，那么函数f(x)是偶函数都有________，那么函数f(x)是奇函数图像特征关于________对称关于________对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________，那么这个________就叫作f(x)的最小正周期．常用结论1．奇(偶)函数定义的等价形式：(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝1⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f（－x）f（x）＝－1⇔f(x)为奇函数．2．对f(x)定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T.(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2|a|；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|.3．函数图像的对称关系：(1)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图像关于直线x＝a＋b2对称；(2)函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图像关于点a＋b2，0对称．题组一常识题1．[教材改编]函数f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝1x＋|x|中偶函数的个数是________．2．[教材改编]已知f(x)为奇函数，当x0时，f(x)＝x－1，则f(－2)＝________．3．[教材改编]已知函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝log4(x2＋3)，则f(2017)＝________．题组二常错题第2页共6页◆索引：判定奇偶性不化简解析式导致出错；找不到周期函数的周期从而求不出结果；性质应用不熟练找不到解题方法．4．函数f(x)＝lg（1－x2）|x＋3|－3是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．5．具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，0x1，0，x＝1，－1x，x1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号)6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－fx＋32，且f(1)＝2，则f(2014)＝________．题组三常考题7．[2015·福建卷改编]下列函数为奇函数的是________．(填序号)①y＝1x2，②y＝tan2x，③y＝x＋cosx，④y＝ex＋e－x.8．[2014·湖南卷改编]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．9．[2015·山东卷改编]函数f(x)＝2x＋aa·2x＋b是R上的奇函数，则a·b＝________．探究点一函数奇偶性的判断1(1)已知函数f(x)＝x－3，g(x)＝1x2＋cosx，那么()A．f(x)·g(x)是奇函数B.f(x)·g(x)是偶函数C.f(x)＋g(x)是奇函数D.f(x)＋g(x)是偶函数(2)下列函数中，是偶函数的是()A．f(x)＝x2＋tan2xx∈0，π2B．f(x)＝x|x|C．f(x)＝x2＋x，x0，x2－x，x0D．f(x)＝cosx＋sinx________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思](1)判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x是否有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，必要时，可对上式作变形处理：f(－x)±f(x)＝0.第3页共6页(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图像作判断．式题(1)下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12xB．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x(2)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上的单调性也相同的是()A．y＝－1xB．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1探究点二函数的周期性2(1)周期为4的奇函数f(x)在[0，2]上的解析式为f(x)＝x2，0≤x≤1，log12x＋1，1x≤2，则f(2014)＋f(2015)＝()A．0B．－1C．2D．3(2)[2016·呼伦贝尔模拟]已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图像关于y轴对称，当x∈(0，2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是()A．f(4.5)f(7)f(6.5)B．f(7)f(4.5)f(6.5)C．f(7)f(6.5)f(4.5)D．f(4.5)f(6.5)f(7)________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思](1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(3)在解决具体问题时，要注意“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．探究点三函数性质的综合应用考向1奇偶性的应用3(1)[2016·六安一中三模]设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝log3（x＋1），x≥0，g（x），x0，则g[f(－8)]＝()A．－1B．－2C．1D．2(2)[2016·临川一中月考]若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在其定义域上为奇函数，则实数k＝________．________________________________________________________________________第4页共6页________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思]已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像．考向2奇偶性与单调性4(1)[2016·天津卷]已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)f(－2)，则a的取值范围是()A．－∞，12B．－∞，12∪32，＋∞C.12，32D.32，＋∞(2)[2016·湖北七校联考]已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是()A.14B.18C．－78D．－38________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思]求解函数单调性与奇偶性结合的问题需注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性．考向3奇偶性与周期性5(1)[2016·山东卷]已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x12时，fx＋12＝fx－12.则f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．2(2)[2016·四川卷]若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)＝4x，则f－52＋f(2)＝________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思]周期性与奇偶性结合，多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．考向4奇偶性﹑周期性与单调性6(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A．[3，7]B．[4，5]第5页共6页C．[5，8]D．[6，10](2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)f(11)________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思]解决周期性、奇偶性与单调性相结合的问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．第6页共6页