2017优质课《2.3.1平面向量基本定理》教案

《2.3.1平面向量基本定理》教案参赛号：70一、教材分析本节课是在学习了共线向量定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。二、教学目标知识与技能:了解平面向量基本定理及其意义，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。教学重点：平面向量基本定理的探究；教学难点：如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.三、教学过程1、情景创设七个音符谱出千支乐曲，26个字母写就百态文章！在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？问题1给定一个非零向量a，允许做线性运算，你能写出多少个向量？aa问题2给定两个非零向量12,ee，允许做线性运算，写出尽量多的向量？1、12//ee通过线性运算会得到11221122+eeee的形式，本质上它们表示的都是1e的数乘。2、12ee，不共线通过线性运算会得到1122+ee，它表示的是什么向量？1e2e不妨我们作出几个向量12+ee，122+ee，12-ee，12-2ee来看看。只要给定1和2的值，我们就可以作出向量1122+ee，本质上是1e的数乘和2e的数乘的合成。随着1和2取值的变化，可以合成平面内无数多个向量。问题3那么我们能否这样认为：平面上的任何一个向量都可以由1e和2e来合成呢？我们在平面上任取一个向量a，看看它能否由1e和2e来合成，也就是能否找到这样的1e和2e，使1122+aee？这个问题可简述为：平面上有两个不共线的向量1e和2e，平面上的任意一个向量能否用这两个向量来表示？思考探究：根据探寻的目标1122+aee，结合上面向量合成的做法，显然a就应该是合成后的平行四边形的对角线，而平行四边形两边应该是1e和2e所在的直线，因此，只要作出这个平行四边形，问题就迎刃而解了。1e2ea如图所示，在平面内任取点O，作OA1e,OB2e,OCa.作平行四边形ONCM.则ONOMOC.由向量共线定理可得，存在唯一的实数1，使OM11e;存在唯一的实数2，使ON22e.即存在唯一的实数对1，2，使得a=11e+22e.MCAOBN强调：向量a的任意性、1e、2e不共线、系数1，2的存在性与唯一性。2、定理剖析讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？如果1e、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a=11e+22e这里我们发现平面内的任意两个不共线向量1e、2e就类似于音乐中的7个音符，类似于英文中的26个字母。我们把任意两个不共线的向量1e、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。定理说明：（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？不共线的两个向量（2）一个平面的基底是唯一的吗？不唯一，可以有无数多个（3）当平面的基底给定时，任意向量a的分解形式唯一的吗？由共线向量定理可知：1，2唯一确定3、例题分析例1已知向量1e、2e，求作向量-2.51e+32e.1e2e例2如图平行四边形ABCD两条对角线相交于M，且aAB，bAD，用ba,表示向量MDMCMBMA,,,.变式：在上述平行四边形中，若已知,,.ACmBDnmnABAD试用基底，表示和4、课堂检测1、已知向量1e、2e不共线，实数x、y满足(3x-4y)1e+(2x-3y)2e=61e+32e，则x-y的值等于()A.3B.-3C.0D.22、如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.记向量aABbAD,试用a，b表示向量MN.5、课堂小结（1）平面向量基本定理；（2）该定理研究了向量哪方面的知识6、板书设计2.3.1平面向量基本定理问题引入平面向量基本定理定理说明例1，例2变式训练小结7、作业ANMCDBANMCDB