2011届《金版新学案》 第二章 第4讲 专题 求解平衡问题的常用方法及特例

第4讲专题求解平衡问题的常用方法及特例1．整体法与隔离法：正确地确定研究对象或研究过程，分清内力和外力．2．平行四边形定则和三角形定则；确定合矢量与分矢量的关系．3．正交分解法：物体受多个力的平衡情况．4．力的合成法特别适合三个力平衡时，运用其中两力矢量和等于第三个力求列方程求解．5．图解法：常用于处理三个共点力的平衡问题，且其中一个力为恒力、一个力的方向不变情形．6．相似三角形法在共点力的平衡问题中，已知某力的大小及绳、杆等模型的长度、高度等，常用力的三角形与几何三角形相似的比例关系求解．7．正弦定理如果物体受三个不平行力而处于平衡状态，如图所“动态平衡”是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫做动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．解决这类问题的一般思路是：把“动”化为“静”，“静”中求“动”．如右图所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是()A．增大B．先减小，后增大C．减小D．先增大，后减小【解析】方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如右图所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如右图所示，将FAB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：FABcos60°＝FBCsinθ，FABsin60°＋FBCcosθ＝FB，联立解得FBCsin(30°＋θ)＝FB/2，显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．故选B.1－1：如右图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？【解析】虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论．以球为研究对象，球所受重力G产生的效果有两个：对斜面产生了压力F1，对挡板产生了压力F2.根据重力产生的效果分解，如右图所示．当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，F1大小改变，但方向始终与斜面垂直；F2的大小、方向均改变，图中画出的一系列虚线表示变化的F2.由图可以看出，当F2与F1垂直即β＝90°时，挡板AO受压力最小，最小压力F2min＝mgsinα.【答案】β＝90°时F2有最小值mgsinα一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是()A．FN先减小，后增大B．FN始终不变C．F先减小，后增大D．F始终不变【解析】取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．如图所示，力的三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长AB为l，则由对应边成比例可得：式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小．【答案】B2－1：如图所示，A、B两球用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方，且点O、A之间的距离恰为L，系统平衡时绳子所受的拉力为F1.现把A、B间的弹簧换成原长相等、劲度系数为k2(k2k1)的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F2，则F1与F2之间的大小关系为()A．F1F2B．F1＝F2C．F1F2D．无法确定【解析】两球间放劲度系数为k1的弹簧静止时，小球B受力如图所示，弹簧的弹力FN与小球的重力G的合力与绳的拉力F1等大反向，根据力的三角形与几何三由于OA、OB均恒为L，因此F1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k2的弹簧后绳的拉力F2＝F1，B正确．【答案】B临界问题某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态为临界状态，临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态，涉及临界状态的问题叫做临界问题，解决这类问题一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．(16分)如图，一根弹性细绳原长为l，劲度系数为k，将其一端穿过一个光滑小孔O(其在水平地面上的投影点为O′)，系在一个质量为m的滑块A上，A放在水平地面上．小孔O离绳固定端的竖直距离为l，离水平地面高度为h(hmg/k)，滑块A与水平地面间的最大静摩擦力为正压力的μ倍．问：(1)当滑块与O′点距离为r时，弹性细绳对滑块A的拉力为多大？(2)滑块处于怎样的区域内时可以保持静止状态？【解析】(1)当滑块与O′点的距离为r时，由胡克定律知，弹性绳的拉力(2)设OA与水平面的夹角为α，分析物体受力如图所示，由平衡条件得：FN＋Fsinα＝mg☞(2分)Fcosα＝Ff.☞(1分)Ffm＝μFN☞(2分)所以有：k·cosα＝Ff≤Ffm＝μ(mg－Fsinα)＝μ(mg－kh)☞(2分)处理平衡物理中的临界问题和极值问题，首先仍要正确受力分析，要认清临界条件并且要利用好临界条件，列出平衡方程，对于分析极值问题，要善于选择物理方法和数学方法，做到数理的巧妙结合．3－1：如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求：(1)小环对杆的压力；(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？【解析】(1)整体法分析有：2FN＝(M＋2m)g，即由牛顿第三定律得：小环对杆的压力F′N＝Mg＋mg.(2)研究M得2FTcos30°＝Mg临界状态，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则有FTsin30°＝μF′N1．如图所示，用绳OA、OB和OC吊着重物P处于静止状态，其中绳OA水平，绳OB与水平方向成θ角．现用水平向右的力F缓慢地将重物P拉起，用FA和FB分别表示绳OA和绳OB的张力，则()A．FA、FB、F均增大B．FA增大，FB不变，F增大C．FA不变，FB减小，F增大D．FA增大，FB减小，F减小【解析】把OA、OB和OC三根绳和重物P看做一个整体，整体受到重力mg，A点的拉力FA，方向沿着OA绳水平向左，B点的拉力FB，方向沿着OB绳斜向右上方，水平向右的拉力F而处于平衡状态，有：FA＝F＋FBcosθ，FBsinθ＝mg，因为θ不变，所以FB不变．再以O点进行研究，O点受到OA绳的拉力，方向不变，沿着OA绳水平向左，OB绳的拉力，大小和方向都不变，OC绳的拉力，大小和方向都可以变化，O点处于平衡状态，因此这三个力构成一个封闭的矢量三角形(如图)，刚开始FC由竖直方向逆时针旋转到图中的虚线位置，因此FA和FC同时增大，又FA＝F＋FBcosθ，FB不变，所以F增大，所以B正确．【答案】B2．表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上，如图所示．两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比m1∶m2为(不计球的大小)()A．24∶1B．25∶1C．24∶25D．25∶24【解析】对小球2进行受力分析，如图所示，显然△O′OP与△PBQ相似．设OO′＝H，OP＝R，O′P＝L2，由相似三角形的性质有m2g/H＝FN/R＝F2/L2，则m2＝F2H/(gL2)同理可得m1＝F1H/(gL1)而F1＝F2于是m1/m2＝L2/L1＝25∶24.【答案】D3．如图所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角βθ.且θ＋β90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力FT和地面对斜面的支持力FN的大小变化情况是()A．F逐渐增大，FT逐渐减小，FN逐渐减小B．F逐渐减小，FT逐渐减小，FN逐渐增大C．F逐渐增大，FT先减小后增大，FN逐渐增大D．F逐渐减小，FT先减小后增大，FN逐渐减小【解析】利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知FT是先减小后增大．斜面对球的支持力F′N逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝F″Nsinθ，则F逐渐增大，水平面对斜面的支持力FN＝G＋F″N·cosθ，故FN逐渐增大．【答案】C4．如图所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)【解析】本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图后，列出平衡方程求解．用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示．由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力．F≤Fmax＝μFNB.由平衡条件有：对球有：GA＝FNcos45°①FNA＝FNsin45°②对三角劈有FNB＝G＋FN′sin45°③F＝FN′cos45°④F≤μFNB⑤因为FN＝FN′⑥由①～⑥式解得：【答案】球的重力不得超过