第二十讲-飞跃-从全等到相似(含答案)-

的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等．通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广泛的方法之一．熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形．例题求解【例1】如图，△ABC中，∠ABC=60’°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB=．(2002年全国初中数学竞赛题)思路点拨PA、PB、PC分别是△ABP、△BCP的边，从判定这两个三角形的关系入手．注相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事物的功能、结构、原理上．类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．”在新事物面前，人们往往习惯于把它们与原有的、熟知的事物相比．这里蕴含的思想方法就是类比．【例2】a、b、c分别是△ABC的三边的长，且cbababa，则它的内角∠A、∠B的关系是()A．∠B2∠AB．∠B=2∠AC．∠B2∠AD．不确定(2000年全国初中数学联赛试题)思路点拨先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系．【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2=PE×PF。(吉林省中考题)、PE、PF在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题．【例4】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC(ABAE)．(1)△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由；(2)设kBCAB，是否存在这样的k值，使△AEF与△BFC相似?若存在，证明你的结论并求出k的值：若不存在，说明理由．(2001年重庆市中考题)思路点拨本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则Rt△AEF与Rt△BFC中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k的值．【例5】如图，△ABC和△AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1．(2000年重庆市竞赛题)思路点拨作出等边三角形最基本的辅助线，并延长AAl交CCl于E，寻找相似三角形，证明∠A=90°．注比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型．基本证法有：(1)从相似三角形入手；(2)利用平行截割定理．有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化．将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论．．如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在网格上，画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1BlC1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A1BlC1的面积是．(2003年泰州市中考题)（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，在△ABC中，AB=15cm，AC=12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点C，那么CE=cm．(2001年重庆市中考题)3．如图，正方形ABCD的边长为2，AE=BE，MN=1，线段MN的两端点在CB、CD上滑动，当CM=时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似．(2002年桂林市中考题)4．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，有下列结论：①∠BAE=30°；②CE2=AB×CF；③CF=31CD；④△ABE∽△AEF．其中正确结论的序号是．(2003年黄冈市中考题)5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是()A．△AEDt∽△ACDB．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACED．△AEC∽△DAC(第17届江苏省竞赛题)（第4题）（第5题）（第6题）6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，对角线AC⊥BD于P，若43BCAD，则ACBD的值是（）A．23B．32C．33D．43(2000年绍兴市中考题)7．如图，将△ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论错误的是()A．AE⊥AFB．EF：AF=1:2C．AF2=FH×FED．ECHBFCBF(2001年黑龙江省中考题)（第3题）（第7题）（第8题）8．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，CD＝32，则△ABC的边长为()A．3B．4C．5D．6(2003年黑龙江省中考题)9．已知：正方形的边长为1(1)如图①，可以算出一个正方形的对角线长为2，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，并猜想出n个正方形并排拼成的矩形的对角线长．(2)根据图②，求证：△BCK∽△BED．(3)由图③，在下列所给的三个结论中，选出一个正确的结论加以证明：①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．10．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4㎝的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3㎝的速度向A点运动，设运动的时间为x．(2003年金华市中考题)(1)当x为何值时，PQ∥BC?（2）当31ABCBCQSS时，求ABCBPQSS的值；(3)△APQ能否与△CQB相似?若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．．如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连结AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP×PC=BM×CN．(安徽省竞赛题)12．已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，若BE=5，EF=2，则FG的长是．(2000年“弘晟杯”上海市竞赛题)（第12题）（第13题）（第14题）13．如图，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中点，连结CC交DB、DF于G、H，则EG：GH：=．(2002年重庆市竞赛题)14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，ABCD，一直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，BD于G，AC于H，BC于I，已知EF=FG=GH=HI=IJ，则ABDC．(“祖冲之杯”邀请赛试题)15．已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形，如果两腰的比为41，那么两底的比为()A．21B．41C．81D．161(第14届江苏省竞赛题)16．如图，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，则AD×DC等于()A．6B．7C．12D．16.(2001年TI杯全国初中数学竞赛试题)（第16题）（第17题）．如图，在△ABC中，D是边AC上一点，下面4种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是()A．AD×BC=AB×BDB．AB2=AD×ACC．∠ABD=∠ACBD．AB×BC=AC×BD(2001年全国初中数学联赛题)18．如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC．19．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，K、M分别是AD、BC上的点，已知∠DAM=∠CBK，求证：∠DMA=∠CKB．(“祖冲之杯”邀请赛试题)20．如图，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求证：AB2=AC2+AC×BC．21．如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在AB上，设其落点为点P．(1)当点P是边AB的中点时，求证：CNCMPBPA；(2)当点P不是边AB的中点时，CNCMPBPA是否仍然成立?请证明你的结论．(2001年北京市宣武区中考题)．如图，若WUEFVWCDUVAB，求证：ZXFAYZDEXYBC．(2003年武汉市选拔赛试题)