Hopf分岔的研究及其应用-四川大学课程中心

四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用1Hopf分岔的研究及其应用(数学与应用数学专业)学生陈恒指导教师杜正东摘要：本文主要对Hopf分岔的概念作出表述,并对其相关判别进行一系列的讨论，着重介绍了两种常用的方法,即中心流形／Poincare－Birkhoff正规形方法和后继函数法。最后,文章还给出了它在三次微分系统中的一个应用。关键词：分岔、平衡点、Hopf分岔,后继函数§1引言微分方程理论在自动控制、航天技术、生态生物等方面一直有着广泛的应用，在这些实际应用中，系统通常都是一些含有参数的微分方程组。考虑如下形式的系统：(,,)dXfXdt（1）其中，:npnfRRR是充分光滑的函数，n≥2，p≥1，不妨设(,)，R，为普适开折参数或其它自由参数。系统（1）的解显然随参数的变化而变化。如果在0的一个小邻域内变化时，系统（1）在相空间的相图拓扑结构发生了变化，那么就称系统发生了分岔，称为分岔参数，0为分岔值。分岔是一种十分普遍的现象，而且它对把握系统解的性质和行为有着十分重要的意义。分岔包括静态分岔和动态分岔。Hopf分岔即是一种十分重要的动态分岔现象，若系统（1）发生发生Hopf分岔，则参数在分岔值0附近变化时，系统平衡点的稳定性发生改变，并在平衡点的小邻域内产生周期解。在实际模型中Hopf分岔是十分普遍的。例如：经济危机的周期性发生，心脏的周期跳动…都是一种Hopf分岔。而今在应用数学中，Hopf分岔理论已经成为研究微分方程小振幅周期解产生和消亡的经典工具。因此，对Hopf分岔的研究是十分有意义的。本文讨论了Hopf分岔，并对其研究方法作了一些总结，最后给出了一个实际应用。§2基本概念不妨设系统（1）的平衡点总在原点O，即：(0,)0f设(0,)()()ADf，且()A有特征值（H1）0()(),(0)0,(0)0i(H2)()A的其它特征值实部都小于0在（H1）（H2）假定下，这时可以证明（详见文献[5]）四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用2存在分岔函数11200:,(,)(,)ngRRRgxxrx使得，并且2(,)0,()ruux在原点附近的每一个解都一一对应到系统（1）的小振幅周期解。这里，0g可由Lyapunov－Schmidt约化得到。若再假设横截性条件：（H3）00成立。其中，0|0，那么系统周期解r满足(H4)24024[]0rccrcr其中，02,...cc是关于的函数。且可证：0()0c等价于0(0)0另由隐函数定理，可知（H4）有唯一解r。若又有：（H5）20c（0rx）使极限环的存在唯一性得到保证，那么：（H4）式即定义了一条渐近抛物线，且满足对任意同号存在唯一0r，并且不存在r使异号。该条曲线即为经典Hopf分岔的图像。现在我们给出Hopf分岔的定义：定义1若系统（1）满足条件（H1）（H2）（H3）（H5），即称该系统将发生Hopf分岔。这里，参数不会引起系统相图拓扑发生质的改变，但是若系统不满足条件（4）和（6）任意其中之一，则将对系统产生重要影响。定义2若系统（1）对条件（H3）(H5)至少有一个不满足，则称其为退化Hopf分岔的情形。下面就对退化的Hopf分岔作一些简要的讨论。情形1若（H3）成立，而（H5）不成立若2xR，那么当0时，00x为细焦点，则（H5）成立等价于一阶焦点量不等于0（H5）不成立等价于一阶焦点量等于0定义3设系统第一个不为0的焦点量为第k个，则把00x称为k阶细焦点。对系统（1）若00x为(,0,0)dffxdt的k阶细焦点，则1）原系统在参数变化时，至多产生k个小振幅周期环2）对1jk的每个正整数j,(,)在(0,0)附近适当扰动,可使原系统正好产生j个极限环。情形2若（H5）成立，而（H3）不成立这时必须用奇异性理论进行讨论。通过Lyapunov－schmidt约化，得到分岔函20(,)(,)gxxrx，然后转为讨论(,)ru的奇点。限于篇幅，这里不再详述。§3Hopf分岔的研究方法Hopf分岔的研究方法很多，如文献[5]总结出了6种不同的方法，包括：中心流形∕Poincare－Birkhoff正规形方法（见[7]）、Lyapunov－Schmidt约化法（见[4]）、Lyapunov常数法（见[1]）、后继函数法（见[6]）、平均法（见[2]）以及内蕴调和平衡法（见[3]）。四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用3本文主要对两种最常用的方法，即中心流形∕Poincare－Birkhoff正规形方法和后继函数法进行讨论。至于其它方法，有兴趣的读者看参看其后给出的相关文献。一、中心流形∕Poincare－Birkhoff正规形方法这是十分著名的方法，如今已将此方法应用到Hilbert问题的解决当中。该方法是通过中心流形定理将高维系统约化到二维平面上，然后通过一个近似恒等变换将此二维系统化为PB正规形。最后依靠对PB正规形的讨论得到极限环的周期关系，进而判别Hopf分岔。考虑高维系统：(,)dxfxdt,,nxfRR(2)f充分光滑，(0,)0f且满足条件（H1）（H2）（H3）其扭扩系统为：(,)0dxfxdtdudt(3)其线性部分矩阵为：(0,0)000fdx此时系统有一个三维中心流形。相应的系统（2）可写成()..dxAxhotdt(4)其中，..hot表示高阶项。令*(),()ququ分别为()A关于()()()i的右左特征向，即：**()()()()(())()()(())TTAqqqAq或等价的有：**()()()()()()()()TAqqAqq对,nuvC引入内积。设1...nuuu，1...nvvv1,nkkkuvuv四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用4总可以取合适的*(),()ququ使得**(),()1,(),()0qqqq易知取非异实矩阵0(Re(0)Im(0))PqqB，其中B0为n(n-2)阶矩阵,使得P非奇异。令0xPy，即1yPx可以将（3）化为0000(,)000odyyGydtddt则系统有三维局部中心流形，即0存在中心流形表示为：n121212{(,),,,,}yyywyyRyy，其中22:nwRRR由此得到中心流形在(,)x坐标下的表达式：21121{(,)(,)(Re(0)Im(0),)}nnjjjxxyqyqe其中1,...,nee为nR的标准正交基；12(,...,)n。可以看成由片1{(,)}nxRx拼凑而成。中心流形是三维的，而对固定的每个片是二维的，则系统约化到每个片上去，可得到二维系统。令*()(),()ztqxt，则()()()()()()()2Re[()()]wtxtztqztqxtztq这里实际上给出了一个nR的直和分解。因为，令***121()()2Re[()]TTTPIqqqqqqPIP可以证明12,PP都是投影算子，且12()()()PxztqztqPxt，12()xtPxPx至此原方程变为()zt，()wt的微分方程，即可将系统（4）化为：()(,,,)()(,,,)dzzGzzdtduAHzzdt（5）且(,,,)0Gzz*()(2Re(2)),(,,,)(2Re(2),)2Re()qfwqHzzwfwqq四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用5在片u上有局部坐标表示：(,,)2Re[()]xzzzq（5）约化到上为：()(,,)dtzgzzdt(,,)(,,(,,),)gzzGzzzz其中，(,,)wzz满足()(,,,)dwAwHzzwdt至此已由中心流形将一个高维系统约化到一个二维系统，不妨将二维系统设为2(,),,dxfxxdt(0,)0f且满足条件（H1）－（H3）又由于(0,)xf（此处为Frechet导数）可通过一线性变换化为标准型()()()()故不妨设系统为()()..()()dxxhotdt（6）令12zxix则系统（6）可写成复数形式()(,,)dzzgzzdt其中()()()i。这时可以证明（见文献[7]）存在一个近似恒同变换(,,)zx将系统化为如下形式的PB正规形：21(()())()..jkjjdichotdt（7）这样我们对原高维系统（2）的讨论就简化为讨论PB正规形。最后，对PB正规形进行讨论：当0时，系统（7）化为0didt此时原点O为中心，周围全是周期为02T的周期解。四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用6当0时，设周期02()..Thot，(),()T分别有Taylor展式2022012()...()(1...)TT通过考虑Cauchy问题21()..(0)chot并比较系数可得：12'Re(0)(0)c1220(Im(0)(0))c1010当2＜0时，向＜0方向产生不稳定极限环。当2＞0时，向＞0方向产生稳定极限环。二、后继函数法该法首先是将系统的线性近似方程化为平衡点在原点且满足中心的形式，然后对系统作三角代换并根据条件沿某个方向作幂级数展开，最后定义后继函数通过其O点与周期解的关系来判别。这里只讨论二维的情况。若是高维系统，可通过中心流形定理将其约化到平面上即可。因此，我们可方便的通过二维Hopf分岔定理来判别。定理设2wR，w是开集，00:,,(,)fwRfx2（-）是00,(,)xw上的解析函数。方程(,)dxfxdt(8)对任意有平衡点O（0，0），且(,)fx在x＝0处对x的导算子(0,)Df记做()A。()A的特征值为共轭复数()(),()0i，又(0)0()(0)0,0dd则对充分小的x，存在唯一解析函数()x有(0)0使方程(8)经过点（x，0）的轨道为闭轨，且周期为2()T，且1）1()0x等价于方程0(8)以（0，0）为中心。2）1()0x等价于方程0(8)以（0，0）为稳定焦点。此时对充分小的，0存在函数11()xx有1(0)0x使方程(8)经过点1((),0)x的轨线是渐近稳定闭轨，且120()lim0mxk（m是某正整数）。四川大学本科毕业论文Hopf分岔的研究及其应用73）1()0x等价于方程0(8)以（0，0）为不稳定焦点，此时充分小的，0存在函数()xx有(0)0x使方程(8)经过点((),0)x的轨线是不稳定闭轨线，且120()lim0mxk（m是某正整数）。§4应用考虑如下的三次微分系统：2223618124(6)(4)(2)2xyyxyxaxyaay（9）3222611()()42xaxyaxy其中，20,a＜0且＜＜1,＜＜1从系统易知有平衡点8484(2,0),(