Catia-V5-曲线曲面理论基础-学习版

1CATIA曲线曲面造型的几何理论基础主要参考资料：1，最经典CATIA曲线曲面设计基本理论作者：复旦托业CAD培训中心2，3D计算机图形学（原书第三版）作者：（英）AlanWatt包宏译3，第十一讲：非均匀有理B样条曲线和曲面CAD/CAM技术基础作者：来自百度文库2Bezier贝塞尔曲线曲面B-SplineB-样条曲线曲面NURBS非均匀有理B-样条曲线曲面RationalB-Spline有理B-样条曲线曲面曲面造型的理论发展历程Catia曲线曲面造型的几何理论基础3Catia曲线曲面造型的几何理论基础NURBS－非均匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline）这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下四个特点：1，NURBS不仅可以表示自由曲线曲面,它还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线,所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的数学描述方法;2，NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子,故可以设计相当复杂的曲线曲面形状。若运用恰当,将更便于设计者实现自己的设计意图;3，NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广,多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面;4，计算稳定且快速。由于NURBS方法的这些突出优点,国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准,将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法,从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。4NURBS－非均匀有理B样条（Non-UniformRationalB-Spline)一条NURBS曲线用一个带比重控制点和曲线的次序以及一个节点矢量的集合定义。非均匀（Non-Uniform）：指NURBS基函数的节点沿参数轴不等距分布，即节距不均匀,而且允许重节点的存在。有理（Rational）：采用分式表示，增加了权因子，是有理的，其分子分母分别是参数多项式和多项式函数。每个控制点都带有一个数字(权因子)，除了少数的特例以外，权值大多是正数。当一条曲线所有的控制点有相同的权值时(通常是1)，称为“非有理”(Non-Rational)曲线，否则称为“有理”(Rational)曲线。Bezier方法及B-样条方法都是非有理的。NURBS的“R”代表有理，意味着一条NURBS曲线有可能是有理的。在实际情况中，大部分的NURBS曲线是非有理的,但有些NURBS曲线永远是有理的，圆和椭圆是最明显的例子。B样条(B-Spline):由多段参数化表示的曲线组成。NURBS的基函数与B-Spline的基函数一样。*NURBS曲线曲面是非有理B-样条曲线曲面和有理/非有理Bezier曲线曲面的推广。Catia曲线曲面造型的几何理论基础5曲线、曲面的显式、隐式、参数表示曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。显式:形如z=f(x,y)的表达式。对于一个平面曲线,显式表示一般形式是:y=f(x)。在此方程中,一个x值与一个y值对应,所以显式方程不能表示封闭或多值曲线,例如,不能用显式方程表示一个整圆。隐式:形如f(x,y,z)=0的表达式。如一个平面曲线方程,表示成f(x,y)=0的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、小于或等于零,也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。参数表示:形如x=f(t),y=f(t),z=f(t)的表达式,其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。如平面曲线上任一点P可表示为:P(t)=[x(t),y(t)];空间曲线上任一三维点P可表示为:P(t)=[x(t),y(t),z(t)];如图:Catia曲线曲面造型的几何理论基础6最简单的参数曲线是直线段,端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为:P(t)=P1+(P2-P1)tt∈[0,1]；圆在计算机图形学中应用十分广泛,其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为:其参数形式可表示为:参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点,计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。其优势主要表现在:(1)可以满足几何不变性的要求,坐标变换后仍保持几何形状不变(2)有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为:只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为:有8个系数可用来控制此曲线的形状。(3)对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换,必须对其每个型值点进行几何变换,不能对其方程变换(因不满足几何变换不变性);而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。1021xxy102122121,,)(ttttttPdcxbxaxy231,0432231432231)(tbtbtbtbatatatatPCatia曲线曲面造型的几何理论基础7(4)便于处理斜率为无穷大的情形,不会因此而中断计算。(5)参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全分离的,而且对变量个数不限,从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。(6)规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的几何分量是有界的,而不必用另外的参数去定义边界。(7)易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率(见高等数学)插值、逼近、拟合插值:给定一组有序的数据点Pi,i=0,1,…,n,构造一条曲线顺序通过这些数据点,称为对这些数据点进行插值,所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值（用直线模拟实际曲线）、抛物线插值（用二次多项式曲线模拟实际曲线），三次样条插值等。在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。逼近:构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点,称为对这些数据点进行逼近,所构造的曲线为逼近曲线。拟合:插值和逼近则统称为拟合(fitting)。图8-1曲线的拟合图8-2曲线的逼近Catia曲线曲面造型的几何理论基础8光顺、连续性光顺:通俗含义指曲线的拐点不能太多,曲线拐来拐去,就会不顺眼,对平面曲线而言,相对光顺的条件是:a)具有二阶几何连续性(G2);b)不存在多余拐点和奇异点;c)曲率变化较小。连续性:设计一条复杂曲线时,常常通过多段曲线组合而成,这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题,即为连续性问题。曲线间连接的光滑度的度量有两种:一种是函数的可微性,把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢,即n阶连续可微,这类光滑度称之为Cn或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性,组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件,称为具有n阶几何连续性,简记为Gn。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾,Cn连续包含在Gn连续之中。对于右图所示二条曲线P(t)和Q(t),参数t∈[0,1],若要求在结合处达到G0连续或C0连续,即两曲线在结合处位置连续:P(1)=Q(0)。若要求在结合处达到G1连续,就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下,并有公共的切矢:……(1-1)当时,G1连续就成为C1连续。若要求在结合处达到G2连续,就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下,并有公共的曲率矢:…………(1-2)代入(1-1)得:这个关系为:…………(1-3)即在和确定的平面内。β为任意常数。当时,G2连续就成为C2连续。在弧长作参数的情况下,C1连续保证G2连续,C1连续能保证G2连续,但反过来不行。也就是说Cn连续的条件比Gn连续的条件要苛刻。0)1(')0('PQ133)0(')0('')0(')1(')1('')1('QQQPPP)1('')1(')0('')1('2PPQP)1()1()0(2PPQ0,1)0(''Q)1(''P)1('PCatia曲线曲面造型的几何理论基础9Bezier曲线的定义给定空间n+1个点的位置矢量Pi(i=0,1,2,…,n),则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是:将其写成矩阵表达形式为:其中,Pi构成该Bezier曲线的特征多边形,Bi,n(t)是n次Bernstein基函数:注意:约定00=1,0!=1n=0,B0,0(t)=1点n=1,B0,1(t)=1-t；B1,1(t)=t直线段，线性插值n=2,B0,2(t)=(1-t)2；B1,2(t)=2t(1-t)；B2,2(t)=t2二次曲线插值n=3,B0,3(t)=(1-t)3；B1,3(t)=3t(1-t)2；B2,3(t)=3t2(1-t)；B3,3(t)=t3三次曲线插值…………Catia曲线曲面造型的几何理论基础1,0)()(,0ttBPtPniniin10,,1,0)()()()(PPPPtBtBtBtnnnn),,1,0()1()!(!!)1()(,nitiininttCtBiniiniinni10Bezier曲线的定义如图所示是一条三次Bezier曲线实例,即n=3。对于三次Bezier曲线,其表达式为：式中:B0,3(t)=(1-t)3；B1,3(t)=3t(1-t)2；B2,3(t)=3t2(1-t)；B3,3(t)=t3将其写为矩阵表达式则为:P(t)=[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0P1P2P3]T=式中若求Px(t)的值,则取Pi的x坐标进行计算,同理求Py(t)、Pz(t)的值,具体如下:Px(t)=[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0xP1xP2xP3x]TPy(t)=[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0yP1yP2yP3y]TPz(t)=[B0,3(t)B1,3(t)B2,3(t)B3,3(t)][P0zP1zP2zP3z]T注意:上式基函数的计算仅需一次,不必三次Catia曲线曲面造型的几何理论基础1,0)()(3,30ttBPtPiii32102300010033-036-313-31-1PPPPttt特别注意：Bezier曲线的定义区间为[0,1]11Catia曲线曲面造型的几何理论基础Bezier曲线的性质(1)端点性质a.曲线端点位置矢量由Bernstein基函数的端点性质可以推得,p(0)=P0，p(1)=Pn由此可见,Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。b.端点切矢量,因为即P’(0)=n(P1-P0),P’(1)=n(Pn-Pn-1)这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。c.端点二阶导矢即:上式表明:2阶导矢只与相邻的3个顶点有关,事实上,r阶导矢只与(r+1)个相邻点有关,与更远点无关。101,1,1)()()('nininiitBtBPntP202,12)()2()1()(''niniiiitBPPPnntP)2)(1()0(''012PPPnnP)2)(1()1(''21nnnPPPnnP12如图示构造一条曲线，由两段R和S组成，这条曲线的形状将在连接点S3/R0的周围被改变。为了保持连续性，我们必须在R1、R0/S3和S3三个点上同时进行操作。可以按下面的方法来达到这一目的：保持线段R1、S2的方向，在此方向上对R1、R0/S3和S3三个点进行移动；保持连接点R0/S3的位置，并绕这一点旋转线段R1S2；整体固定R1、R0/S