函数的奇偶性和周期

课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研第4课时函数的奇偶性和周期性课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2014•考纲下载1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2.掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研请注意！函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性．f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数．原点课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性．(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．原点y轴一致0相反课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；(2)函数f(x)＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x＋1(a0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝loga1－x1＋x为函数；(4)函数f(x)＝loga(x＋x2＋1)为函数．偶奇奇奇奇课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研5．周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．6．函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称．f(x＋T)＝f(x)x＝a课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研1．(2013·广东)定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函数的个数是()A．4B．3C．2D．1答案C解析由奇函数的概念可知，y＝x3，y＝2sinx是奇函数．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研2．函数f(x)＝1x－x的图像关于()对称．A．y轴B．直线y＝－xC．坐标原点D．直线y＝x答案C解析判断f(x)为奇函数，图像关于原点对称，故选C.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研3．设函数f(x)＝x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.答案－14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．答案0课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研5．(2014·杭州质检)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f(－52)＝________.答案－12解析依题意，得f(－52)＝－f(52)＝－f(52－2)＝－f(12)＝－2×12×(1－12)＝－12.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例1判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；(3)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝1－x2|x＋2|－2；(6)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(3)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(4)函数的定义域x∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．由1－x2≥0，|x＋2|－2≠0，得－1≤x≤1，x≠0且x≠－4.故f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2＞0.从而有f(x)＝1－x2x＋2－2＝1－x2x，这时有f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)，故f(x)为奇函数．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(6)已知f(x)的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．∵f(x)＝(x－1)1＋x1－x＝－1－x1＋x，∴f(－x)＝－1＋x1－x＝f(x)．即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．请学生思考，本题中若将条件x∈(－1,1)去掉还是偶函数吗？(答：不是)【答案】(1)奇函数(2)非奇非偶函数(3)非奇非偶(4)奇函数(5)奇函数(6)偶函数课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究1判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于±f(x)．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题1判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝ln2－x2＋x；(2)f(x)＝1ax－1＋12(a0，且a≠1)；(3)f(x)＝x2－2xx≥0，x2＋2xx＜0.【解析】(1)f(x)的定义域为(－2,2)，f(－x)＝ln2＋x2－x＝－ln2－x2＋x＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)∵f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－(1ax－1＋12)＝－f(x)．即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(3)方法一：f(x)的定义域为R，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x＝f(x)．当x＝0时，f(0)＝0＝f(－0)．当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x＝f(x)．∴对于x∈R总有f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研方法二：当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝x2－2|x|.当x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2－2|x|.∴f(x)＝x2－2|x|.∴f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|＝f(x)．∴f(x)为偶函数．【答案】(1)奇(2)奇(3)偶课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例2(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x＋1，f(x)的解析式为__________________________．(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为__________．(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【解析】(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．当x＝0时，有f(－0)＝－f(0),∴f(0)＝0.当x＜0时，－x＞0.f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.∴f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0.课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)∵f(x)为奇函数，且在[0,1)上为增函数，∴f(x)在[－1,0)上也是增函数．∴f(x)在(－1,1)上为增函数．f(x)＋f(x－12)＜0⇔课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研f(x)＜－f(x－12)＝f(12－x)⇔－1＜x＜1，－1＜12－x＜1，x＜12－x⇔－12＜x＜14.∴不等式f(x)＋f(x－12)＜0的解集为{x|－12＜x＜14}．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(3)∵f(x＋1)为偶函数，∴函数g(x)＝f(x＋1)的图像关于直线x＝0对称．又函数f(x)的图像是由函数g(x)＝f(x＋1)的图像向右平移一个单位而得到，∴函数f(x)的图像关于直线x＝1对称．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研【答案】(1)f(x)＝x＋1，x0，0，x＝0，x－1，x＜0(2){x|－12＜x＜14}(3)x＝1课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研探究2奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)．(2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研思考题2(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)f(a)的实数a的取值范围是________．【解析】若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)f(a)，得aπ，∴0≤a≤π.若a0，∵f(π)＝f(－π),则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于f(－π)f(a)，得到a－π.即－πa0.由上述两种情况知a∈(－π，π)．【答案】(－π，π)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研(2)函数y＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________．【解析】∵f(x－2)为奇函数，∴f(x－2)的图像的对称中心为(0,0)．又∵f(x)的图像可由函数f(x－2)的图像向左平移两个单位而得，∴f(x)的图像的对称中心为(－2,0)．【答案】(－2,0)课前自助餐授人以渔自助餐课时作业新课标版·高三数学（理）高考调研例3设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x