浙江大学1998-2015量子力学

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10分）（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件求，设外磁场强度为B）第二题：（20分）（1）若一质量为的粒子在一维势场0,0(),,0xaVxxax中运动，求粒子的可能能级。（2）若某一时刻加上了形如sinxea，（1e）的势场，求其基态能级至二级修正（为一已知常数）。（3）若势能()Vx变成221,0()2,0xxVxx，求粒子（质量为）的可能的能级。第三题：（20分）氢原子处于基态，其波函数形如race，a为玻尔半径，c为归一化系数。（1）利用归一化条件，求出c的形式。（2）设几率密度为()Pr，试求出()Pr的形式，并求出最可几半径r。（3）求出势能及动能在基态时的平均值。（4）用何种定理可把ˆV及ˆT联系起来？第四题：（15分）一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222yxzxyzLLLHIII，转子的轨道角动量量子数是1，（1）试在角动量表象中求出角动量分量ˆxL，ˆyL，ˆzL的形式；（2）求出ˆH的本征值。第五题：（20分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化00,0,0ttEet，为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。（设ˆH为微扰哈密顿，805100,2102ˆ32taeHe；（当0t）100,211ˆ0H）。第六题：（15分）（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场0()raVxVe，（0a）中散射的微分散射截面。（设粒子的约化质量为）。（2）从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（10分）（1）试求出100ev的自由电子及能量为0.1ev、质量为1克的质点的德布罗意波长。(1911.610evJ,346.610hJs)（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度gv，即为其运动速度v。第二题：（10分）（1）证明定态中几率流密度与时间无关。（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n个能级时的几率流密度。第三题：（15分）（粒子处于一维势阱0,0(),00,xVxUxaxa（取的恒定常量）中运动，（1）画出势能()Vx的示意图，设粒子质量为，（2）求解运动粒子的能级E。（00UE）(写出E所满足的方程)第四题：（10分）一维谐振子，其势能为21()2Vxkx，（k为常量）。若该谐振子又受一恒力F作用，试求其本证能量及能量本证函数。该振子的质量为。第五题：（20分）（1）写出线性、厄米算符的定义。（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？a.1ˆFx,b.2ˆˆˆxFapbx,(,ab为恒定实常数)c.ˆ3ˆiAFe，ˆA为线性厄米算符，i为虚宗量。（3）证明厄米算符对应有实得本证值。（4）若算符ˆB、ˆC为厄米算符，ˆˆˆˆˆˆ[,]0BCBCCB,若在,bc分别为ˆB、ˆC的本证值，证明：①0bc,②若2ˆ1C，则c必取1c。第六题：（20分）设哈密顿算符在能量表象中形如(0)1(0)2(0)30ˆ0EaHEbabE，其中(0)1E、(0)2E、(0)3E远大于a或b为实数，试（1）写出未微挠哈密顿量0ˆH与微挠哈密顿量ˆH的合理形式。（2）证明ˆH为厄米算符（(0)1E、(0)2E、(0)3E全为厄米算符本证值）。（3）若000123EEE，用微扰论起初其本征能量（至二级）。（4）若000123EEE，试求其本征能量（至一级）。第七题：（15分）用玻恩近似计算粒子（质量为）被形如()()VrBr的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点。（B为常数）浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（20分）（1）下列说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。a.量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。b.电子是粒子，又是波。c.电子是粒子，不是波。d.电子是波，还是粒子。（2）a.厄米算符的定义是什么？算符dxdx是否厄米？b.等式ˆˆˆˆgfgfeee是否成立？何时成立？（3）若太阳为一黑体，人所能感受的太阳光能量的最大的波长为0.48mm，太阳半径87.010Rm，太阳质量30210mkg，试估算太阳质量由于热辐射而损耗1所需要的时间。（斯特藩常数12245.6710/()Wcmk）第二题：（20分）若有一粒子，质量m，在有限深势阱00,(),xaVxVxa中运动，0V为某一正常数。（1）试推出其能量本征值所满足的方程。（2）如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。（3）若粒子不作一维运动，而是三维运动，00,0(),raVrVra，试求出至少存在一个本征能的条件。第三题：（20分）（1）量子力学中，若ˆH不显含时间，则力学量ˆA为守恒量的定义是什么？守恒量ˆA的本征态有何特点？（2）本征值简并的概念是如何表述的？一维运动的粒子（势场为()Vx），其能级是否简并？（3）在一维势场()Vx中运动的粒子，其动量ˆxP是否守恒？（4）试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。第四题：（25分）若一二维谐振子哈密顿量为：0ˆˆˆHHH22222011ˆˆˆ()()22xyHppxyˆ2Hxy，（为一小量）（1）用微扰论，求其基态的能量修正（至2项）及第一激发态的能量修正（至项）（2）如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。（3）相干态的定义为：220!nnenn，0ˆH为一维线性谐振子的哈密顿量，0ˆnHnEn，1()2nEn，试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。第五题：（15分）质量为m的粒子受到势能为2()aVrr的场的散射（a为某一正常数），在入射能量极低的条件下，计算其微分散射截面。（球贝塞尔函数sin2llxjx，x）。浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：（15分）（1）试确定，在3K温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长m是多少？（2）此时，光子的对应能量为多少？（3）光电效应中，如何测定某金属板的脱出功A？第二题：（20分）设氢原子处于状态：2110311113(,,)()(,)()(,)22rRrYRrY（1）问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？（2）问测量氢原子的角动量平方2ˆL，所得的可能值及相应的几率为多少？（3）问测量氢原子的角动量分量ˆzL的可能值及相应的几率为多少？第三题：（20分）（1）一质量为m的粒子于势场()Vx中运动，,0()0,0,xVxxaxa求该粒子的能级及对应的本征波函数？（2）若一质量为m的粒子与势场0V0,V(x)0,xaxa中运动，求束缚态能级E所满足的方程。（3）若一质量为m的粒子于三维势场()Vr中运动，0,0rV(r)0,Vara0V0，则若欲得二个束缚能态，其势能值0V至少应为多少？第四题：（15分）（1）何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符ˆAx是否厄米？（2）计算对易子ˆˆ[,]nXP的值？（3）证明厄米算符有实的本证值？（4）试说明为何要力学量对应为厄米算符？下面二组题（五、六题与七、八题）任选一组解答。第五题：（15分）证明对任何束缚态，粒子动量ˆxp的平均值为零。第六题：（15分）如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。（已知0ra，a为玻尔半径）第七题：（15分）一质量为m的高能粒子被势场20()1.125rrVeeVrraa散射，0V较小，k为入射波矢。（1）用哪种方法计算其散射截面较为合理？（2）试指出在哪些方向上，散射粒子最少？第八题:(15分)试写出定态微挠论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题：从下面四题中任选三题（15分）（1）试说明光电效应实验中的“红限”现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念？（2）如何从黑体辐射实验的Planck公式中推出Stefan公式？（只要求给出思路）。根据该公式，能否做出什么测温仪器？（3）你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。（4）你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念？第二题（20分）：设氢原子处于状态：211121103111171(,,)()(,)()(,)()(,)442rRrYRrYRrY（1）测量该原子的能量，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？（2）测量该原子的角动量平方2ˆzL，测得的可能值为多少？相应的几率又为多少？（3）测得的角动量分量zL的可能值和相应几率为多少？第三题：（20分）一质量为m的粒子处于势场()Vx中运动，若（1）()0xaVxxa则该粒子的本征能量为多少？（2）()()Vxax，0a为已知常数，则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？（3）0(),(),VxxaVxxa，00V，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？（4）能量为E的平行粒子束，以入射角射向平面0x，在区域0x，0V，在区域0x，0VV。试从量子力学的角度，分析粒子束的反射及折射规律。（用及1201VnE表示反射几率R及折射几率D。第四题：（15分）（1）如何证明一个算符为厄米算符？算符ˆdAixdx是否为厄米算符？（2）若ˆˆ,xxpi，计算对易子33ˆˆ,xxp。（3）证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。（4）为何物理量要用厄米算符来表示？下面二组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答第五题：（15分）在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为m相互作用势用22121()()2Vxmxxe来表示，其中1，2，e为一常数。若0ˆ0tx，0ˆ0tp，问其位移x的平均值与时间的关系为何？第六题：（15分）如果有一二能级系统1，2，其相应的能级的能量分别为1E，2E，哈密顿算符的有关矩阵元为1ˆ11HEb，2ˆ22HEb，ˆˆ1221HHa其中1E，2E，a，b为已知常数，满足一切近似条件。问：（1）若以1，2为零级近似波函数，至一级近似，本征能量为何？（2）至二级近似，本征能量为何？第七题：（15分）若有一质量为m的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为，势场形式为0,()0,VraVrra，00V，a为一已知常数。问：（1）使用玻恩近似还是用分波法比较合适？（2）试问相移L的正弦与散射势能及散射波函数的关系为何？（3）求出零级近似下的微分散射截面。（4）若不知道势场()Vr的具体形式，能否利用散射实验来确定()Vr？第八题：（15分）试证固体物理中常用的Thomas-Reiche-Kuhn求和规则：22ˆ()2nanEEnxam，其中n，a为系统的二个任意的能态，nE，aE为任意两个能级的能量，m为粒子的质量。浙江大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目量子力学第一题（35分）：1.如果1和2是某一体系含时薛定谔方程的两个解1）它们的线性迭加12ab，（a，b是常数），是否满足同样的含时薛定谔方程？2）若令12，你认为是否满足同样的含时薛定谔方程？