第2章-微分方程+传递函数

1第二章控制系统的数学模型2.1拉普拉斯变换和反变换2.2系统微分方程的建立2.3传递函数2.4系统方块图2.5控制系统的传递函数√√22.2系统微分方程的建立数学模型:物理系统的数学描述;本章介绍本课程用到的三种形式的数学模型：微分方程---来自物理学定律，本课程应用;传递函数---本章;方块图---本章;32.2.1线性系统微分方程的列写单输入单输出系统的线性定常微分方程的一般形式：)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn式中nm,n是系统阶次,r(t),c(t)是系统输入量和输出量。例2-11弹簧－质量－阻尼器系统输入量:外力f(t)输出量:位移y(t)（输入输出是什么均是已知的）重力mg与弹簧预压缩量ky0平衡解：由牛顿第二定律maFi220)()()()(dttydmmgdttdyytyktf写成标准式：)()()()(22tftkydttdydttydm标准式：左出右入降阶二阶线性定常微分方程42.2.1线性系统微分方程的列写单输入单输出系统的线性定常微分方程的一般形式：)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn例2-12RC无源网络，输入电压ei(t)和输出电压eo(t)解：由基尔霍夫定律一阶线性定常微分方程)()()(teRtiteoidttdeCtidttiCteoo)()()(1)(消去i(t)并整理成标准式：)()()(tetedttdeRCioo式中nm,n是系统阶次,r(t),c(t)是系统输入量和输出量。标准式：左出右入降阶()ieti()oetCR52.2.1线性系统微分方程的列写例2-13液位控制系统一阶非线性定常微分方程消去qo(t)并整理成标准式：根据流量平衡原理，流入量与流出量之差等于箱内水量的变化量：dttdhAtqtqoi)()()(输入输出被控量是输出量!水箱内截面积A根据流体力学知识，流出量与液面高度（水头）有关：)()(thatqo)()()(tqthadttdhAi列写系统微分方程的要点：1.确定系统的输入量和输出量；2.依据所遵循的物理定律，依次列写相应的微分方程（组）；3.消去中间变量，得到一个输入、输出之间关系的微分方程；4.写成标准化形式:左出右入，降次排列。62.2.2用拉普拉斯变换求解微分方程例2-14用拉普拉斯变换方法求解下列微分方程0)0()0(sin)()(xxttxtx解：对微分方程两端进行拉氏变换:221()(0)(0)()1sXssxxXss11)()(22ssXsXs代入初始条件:整理:221()(1)Xss查拉氏变换表:)cos(sin21)(ttttx成代数方程72.2.3微分方程的线性化实际的物理系统往往有各类非线性现象.例如xyxy形成了非线性微分方程,例如)()()(tqthadttdhAi导致了数学上的困难;82.2.3微分方程的线性化小偏差工作原理:xy•设工作点(x0,y0);•控制系统工作时一般总在工作点附近小范围工作.•在工作点附近以直线代曲线,误差可以接受:---小偏差线性化00(,)xy92.2.3微分方程的线性化000()()()xxdffxfxxxdxxky写成增量形式:小偏差线性化的方法:非线性函数y=f(x),平衡工作点y0=f(x0),泰勒展开得002200021()()()()2!xxxxdfdfyfxfxxxxxdxdx略去增量的高次项得)()()(000xxdxdfxfxfyxx102.2.3微分方程的线性化例2-15微分方程线性化例2-13液位控制系统的一阶非线性定常微分方程)()()(tqthadttdhAi其中包含非线性项)(th，单独将其线性化:设h0为水箱的平衡工作点(平衡高度).0h0000001()()2hhdhhhhhhhhdhh0012hhhhh增量形式:去增量符号(相当于坐标原点移至工作点):01()()2hthth代回原式:)()(2)(0tqthhadttdhAi线性化方程已经把系统的工作坐标从原点移至平衡工作点),(00iqh000()()()xxdffxfxxxdx()fhh()fxkx112.2.3微分方程的线性化写成增量形式:具有两个自变量x、y的非线性函数z=f(x,y)小偏差线性化的方法:非线性函数z=f(x,y),平衡工作点z0=f(x0,y0),泰勒展开并略去高次项得)()(),(0,0,000000yyyfxxxfyxfzyyxxyyxxykxkz21000000,0,0(,)()()xxyyxxyyffzfxyxxyyxy去增量符号,坐标原点移至工作点:12zkxky122.2.3微分方程的线性化在线性化处理中应注意以下几点：（1）针对特定工作点;（2）“小偏差”的概念;（3）本质非线性(右图)不能线性化;000()()()xxdffxfxxxdx132.3传递函数传递函数是本课程中最主要的数学模型;2.3.1定义)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn线性定常系统微分方程标准式：c(t)是输出量，r(t)是输入量，n是系统的阶次当初始条件为零时，对上式两端进行拉氏变换(练习)：11110110()()()()()()()()nnmmnnmmasCsasCsasCsaCsbsRsbsRsbsRsbRs整理)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm()nm14)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn线性定常系统微分方程标准式：c(t)是输出量，r(t)是输入量，n是系统的阶次当初始条件为零时，对上式两端进行拉氏变换，得传递函数：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm即传递函数的定义是：初始条件为零时，输出象函数与输入象函数之比152.3.1传递函数的定义)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn微分方程：)()()()(01110111mnasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm例2-17由微分方程求传递函数：传递函数：)()()()(22tftkydttdydttydmf(t)是输入量，y(t)是输出量，系统阶次n=2.直接写出:ksmssFsYsG21)()()(传递函数求取方法：•由定义求（来自微分方程）•直接列写（熟悉后）162.3.1传递函数的定义传递函数特点，主要有：•又一种数学模型,是代数表达式;系统本身的特征;与输入/出信号无关.•成立条件：零初始条件、线性定常系统；•n是系统的阶次（分母阶次），且有n≥m；•相似系统:物理结构不同,传递函数相同;•可表示为•-Zi:使其分子为零的点,称为传递函数的零点；•-Pi:使其分母为零的点,称为传递函数的极点(数学上称特征根).是实数或共轭复数.极点的作用很重要。)())(()())(()(2121nnmmpspspsazszszsbsG(2-39)11101110()()()mmmmnnnnbsbsbsbCsGsRsasasasa17知识巩固传递函数和微分方程一样,也是用于描述系统的();本课程使用的三种数学模型是(),其中()是最主要的;传递函数的定义是();传递函数是代数表达式吗?传递函数的求取方法一般有二种,分别是();传递函数的成立条件是();系统的阶次符号为(),它是传递函数的()多项式的次数;使传递函数分子为零的点,称为传递函数的();使传递函数分母为零的点,称为传递函数的(),数学上称为(),它是实数或();它在控制系统性能分析中很重要;182.3.2典型环节的传递函数控制系统由典型环节组成,掌握典型环节是基本功！本课程要求熟悉5种典型环节：比例环节、积分环节、惯性环节、振荡环节、微分环节;环节的阶次:例2-11弹簧－质量－阻尼器系统ksmssFsYsG21)()()()()()()(22tftkydttdydttydm()iet()oet)()()(tetedttdeRCioo例2-12RC无源网络()1()()1oiEsGsEsRCs192.3.2典型环节的传递函数(1)比例环节(又称放大环节)传递函数为KsRsCsG)()()(有()()CsKRsK称为比例系数、传递系数或放大系数。•一般每个控制系统中都有放大环节。•机电系统中常有：电子放大器、齿轮减速器;（均在一定范围内）•比例环节对控制系统性能有重大影响;202.3.2典型环节的传递函数(2)积分环节传递函数为()1()()CsGsRss有1()()CsRss输入经积分后输出.例：•ABS液压缸：输入是流量，输出是位移;•减速机：输入是角速度，输出是角位移;•对电容施加电流输入,输出电压;212.3.2典型环节的传递函数(3)惯性环节－又称一阶惯性环节传递函数为()1()()1CsGsRsTsT称为惯性环节的时间常数;T0;量纲是时间单位(秒sec);时间常数值反映了物理系统的快速性，如弱电为微秒毫秒级，机械为毫秒至秒级.例：•接触式测温计;•RC无源网络(低通滤波器);222.3.2典型环节的传递函数(4)振荡环节－又称二阶振荡环节传递函数为阻尼比兼顾环节的动态平稳性和快速性;固有频率决定环节的快速性;例：机械系统中的质量-弹簧-阻尼系统;电气线路中的RLC回路;力控制系统;2222)()()(nnnsssRsCsG)10(0n的取值:0负阻尼,不稳定0零阻尼,不稳定01欠阻尼,振荡1临界阻尼,不振荡1过阻尼,不振荡阻尼比,无量纲.固有频率(rad/sec).23问题:某二阶环节传递函数如下,它是否为振荡环节,为什么?22()32Gsss答题思路:求出阻尼比,观其是否在欠阻尼范围。242.3.2典型环节的传递函数(5)微分环节微分环节反应灵敏，可用作提高系统的动态响应能力。三种,传递函数分别为()()()CsGssRs()()1()CsGssRs22()()21()CsGsssRs理想微分环节,常用一阶微分环节,常用,惯性环节的倒数二阶微分环节,振荡环节的倒数252.3.2典型环节的传递函数(6)*延迟环节输出信号经延迟τ后,完全复现输入信号;()()()sCsGseRs表2-1是各典型环节的汇编.要求熟练掌握.时间域关系传递函数为()()ctrt实际系统中经常存在;26知识巩固课程中介绍了6种典型环节,其名称分别是();这些典型环节分别有几个参数?名称,符号和单