差分方法的稳定性

差分方法的稳定性1.实验内容对于一阶线性双曲线型方程：00,0,1,0,,0uuxtTtxuxux其中初值01,00,0xuxx取空间长度h=0.01，对于不同的差分格式（迎风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，Beam-Warming格式以及蛙跳格式）及不同的网格比（时间长度与空间长度比h）进行迭代计算。通过将计算结果与精确解进行比较，来讨论和分析差分格式的稳定性。2.算法思想与步骤2.1迎风格式这种格式的基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，格式如下：110,0nnnnjjjjuuuuaah110,0nnnnjjjjuuuuaah运算格式：1111(1),01,0nnnjjjnnnjjjuauauauauaua2.2Lax-Friedrichs格式111111202nnnnnjjjjjuuuuuah运算格式：111111122nnnjjjuauau2.3Lax-Wendroff格式这种格式构造采用Taylor级数展开和微分方程本身得到运算格式：111111122nnnnjjjjaauauaauau2.4Bean-Warming格式（二阶迎风格式）借助于双曲型方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出多种差分格式。设在ntt时间层上网格点A,B,C和D上u的值已给定，要计算出在1ntt时间层上网格点P上的u的值。假定C.F.L条件成立，过P点特征线与BC交于点Q，故微分方程解的性质知uPuQ。对于uQ：①用B,C两点值进行线性插值，得到的是迎风格式;②用B,D两点值进行线性插值，得到的是Lax-Friedrichs格式；③用B,C和D三点值进行抛物型插值，得到的是Lax-Wendroff格式。如果我们采用A,BC三点来进行抛物型插值，可以得到111112122nnnnjjjjaauauaauau这就是Beam-Warming格式。2.5蛙跳格式1111022nnnnjjjjuuuuah运算格式：1111nnnnjjjjuuauu由于它是个三层格式，需要先用一个二层格式计算出t那一层的值1ju。为了保持精度的阶数相同，一般我们用Lax-Wendroff格式或Beam-Warming格式。2.6目标点范围跟踪格式（迎风格式的改进）111nnnjjajauauau其中a是a取整数部分，aaa。下面的分析将会得到这是一个无条件稳定结构。3.数据分析与作图3.1迎风格式0.511.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-500-400-300-200-10001002003004002稳定性分析：记nijkhjnuve，则11ijkhnijkhnijkhnijkhnveveaveve，得111nnikhvvae即,1111cossinikhGkaeakhaikh。则在1a时，有,1Gk，格式稳定。3.2Lax-Friedrichs格式0.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468x101000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9111.12稳定性分析：,cossinGkkhihakh00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-15-10-5051000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-4-3-2-101234x106则在1a时稳定。3.3Lax-Wendroff格式0.511.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-5-4-3-2-1012345x1052稳定性分析：222,12sinsin2khGkaiakh则在1a时稳定。3.4Beam-Warming格式0.5100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468x101900.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.4-0.200.20.40.60.8100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.911.122.13稳定性分析：00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-300-200-100010020030000.10.20.30.40.50.60.70.80.91-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5x1012242,12sin14sinsin222khakhGkaakh则在2a时稳定。3.5蛙跳格式0.511.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.20.40.60.811.21.400.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81x1072稳定性分析：命1111nnnnjjjjnnjjuvauuvu令,TUuv1110000001100nnnnjjjjaaUUUU则2sin1,10aikhGk则1a时稳定。3.6目标点范围跟踪格式0.5稳定性分析：,11iakhikhGkeae，其中1iakhe，00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-8-6-4-202468x101200.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91111ikhae的成立条件为1a。然而1a恒成立，故无条件稳定。