矢量三角形法在力学问题中的妙用

矢量三角形法在力学问题中的妙用学生在解静态平衡问题时，运用平行四边形定则运算，难度不算大。可一旦转入多个力的求和问题，但对于动态平衡问题，用正交分解法取代平行四边形法则，虽然可以使问题简化，但计算仍显得繁琐。如果遇上了动态平衡的问题，因疑点增多，解破起来颇感棘手，若用矢量三角形法则求解，却能一改平行四边形法则和正交分解法繁琐的计算程序，可谓之柳暗花明。下面以五道实例，来谈谈矢量三角形法在静态平衡、动态平衡和运动的合成问题中一．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用若物体受到三个力（不只三个力时可以先合成三个力）的作用而处于平衡状态，则这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。三角形三边的长度对应三个力的大小，夹角确定各力的方向。例1．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，求下列情况下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直θ•θ•（1）、挡板竖直放置（2）、挡板与斜面垂直θθGθN2N1GN2N1GN2N1θ分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的支持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状态，因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反，故这三个力可构成力的三角形：GN1N2由矢量三角形的边角关系可知：当挡板竖直放置时，N1=GtgθN2=G/cosθ当挡板与斜面垂直放置时，N1=GsinθN2=Gcosθ这样比我们建立直角坐标，再利用正交分解法来求解就简单多了。GN2N1GθN2N1GN2N1θGN1N2二．矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用例2．如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使木板沿逆时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和挡板的压力怎样变化？θ•O分析与解答：分析小球受力如图所示，小球受重力、斜面的支持力和挡板的支持力，在者三个力的作用下处于平衡状态，这三个力可构成力的三角形（如上图）θOGN1N2GN2N1θGN2N1θ挡板绕O点缓慢移动，可视为动态平衡。因挡板对小球的支持力N1的方向与水平方向之间的夹角由900缓慢变小，重力的大小和方向都不变，斜面的支持力N2的方向也不变，由矢量三角形知斜面的支持力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小后变大AOBC图4例3．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、TC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移动的过程中，下列说法正确的是（）A.A、TA、TB一直减少；B、TA一直增大，TB一直减少；C、TA先增大后减少，TB先减少后增大；D、TA先减少后增大，TB一直减少；TBTATC图6TBTATC=G图5分析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB的表达式，再分析当θ角（TA与水平方向所成的夹角）改变时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复杂，而且也不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作如下的分析：若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC三个力作用，则这三个力构成如下图所示的矢量三角形。在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变，TB的方向也不变，即在力的三角形中，TC的长度和方向不变，TB与TC的夹角大小不变，A点向上移动，且TA与水平方向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变化可知，TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。AOBC图4TBTATC=G图5TBTATC图6ACB图7例4．如图7所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于直径为D的圆桶内，且dD2d，在相互接触的三点A、B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3，如果将桶的直径加大，但仍小于2d，则F1、F2、F3的变化情况是（）A．F1增大，F2不变，F3增大；B．F1减少，F2不变，F3减少；C．F1减少，F2减少，F3增大；D．F1增大，F2减少，F3减少；分析：由整体法易知F2的大小不变，再隔离分析上面的小球，小球受重力G、桶向左的支持力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用，且处于平衡状态，这三个力构成矢量三角形，G的大小和方向都不变FGNF的方向始终水平向左，当桶的直径增大时，N与水平方向的夹角变小，由矢量三角形图知F增大，所以答案为A。ACB图7FGN三．矢量三角形在运动学中的应用：相对运动的问题是高中力学中较为复杂的问题，我们如能掌握应用三角形法则，对这类问题，就能迎刃而解。这时三角形法则可写为：VAB+VBC=VCAVAB指A相对于B的速度，VBC指B相对于C的速度，VCA指C相对于A的速度，同理可得出位移和加速度的矢量关系：SAB+SBC=SCAaAB+aBC=aCAVABVBCVCASABSBCSCAaABaBCaCA例5．若人以8m/s的速度匀速向东运动，感觉风从正北方向吹来，V风对人=6m/s，求风速大小与方向？分析：由矢量三角形知：V风对地=V风对人+V人对地如图所示，则可得到：V2风对地=V2风对人+V2人对地所以：V风对地=10m/stgθ=4/3风速大小为10m/s，方向为北偏东θ=arctg(4/3)总之，在解决力学问题中，若能合理地应用矢量三角形，不但能收到异曲同工之效，还能使解题更为简化、快捷、准确。V人对地V风对人V风对地θ