第19讲概率分析

第十九讲:概率分析1第十九讲:概率分析杨老师专论（电话号码：2078159；手机号码：[phone]）概率是课程时期的新增内容,2000年进入高考,在课标中得到进一步的加强与提升,在自主招生考试中占有重要的地位.高考中的概率问题侧重考查分布列(数学期望),数学联赛中的概率问题专注于计数方法(古典概率的求解技巧),自主招生考试中的概率问题则注重对概率的求解.Ⅰ.知识拓展1.概率公式:①和概率公式:对任意事件A与B,都有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B);②全概率公式:设A1,A2,…,An,…是一组完备事件(当且仅当A1,A2,…,An,…中任意两事件互斥,且A1∪A2∪…∪An∪…是必然事件),则对任意事件B,都有P(B)=P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+…+P(An)P(B/An)+…;2.期望公式:①变量分解:若随机变量ξ=ξ1+ξ2+…+ξn+…,则Eξ=Eξ1+Eξ2+…+Eξn+…;②几何分布:若随机变量ξ满足P(ξ=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,…,则Eξ=p1,Dξ=21pp.Ⅱ.归类分析1.样本空间:[例1]:(2009年清华大学自主招生数学试题)随机挑选一个三位数I.(Ⅰ)求I含有因子5的概率;(Ⅱ)求I中恰有两个数码相等的概率.[解析]:[练习1]:1.①(2007年复旦大学保送生考试试题)设甲、乙两个袋子中装有若干个均匀的白球和红球,且甲、乙两个袋子中的球数为1:3.已知从甲袋中摸到红球的概率为31,而将甲、乙两个袋子中的球装在一起后从中摸到红球的概率为32.则从乙袋中摸到红球的概率为()(A)97(B)4519(C)3013(D)4522②(2008年上海交通大学保送生考试试题)甲、乙两厂生产用一种商品.甲厂生产的此商品占市场上的80%,乙厂生产的占市场上的20%;甲厂商品的合格率为95%,乙厂商品的合格率为90%,若某人购买了此商品发现为次品,则此次品为甲厂生产的概率为.(A)251(B)991(C)331(D)10012.①(2012年复旦大学保送生考试试题)随机任取一个正整数,则它的3次方的个位和十位上的数字都是1的概率是()(A)251(B)991(C)331(D)1001②(2006年清华大学自主招生数学试题)随机取多少个整数,才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数？2.概率模型:[例2]:(2007年武汉大学保送生考试试题)某厂生产的一批电子元件,按每盒10件进行包装,每盒产品均需检验合格后方可出厂,质检办法规定:从每盒10件电子元件中任意抽取3件进行检验,若次品数不超过1件,就认为该盒产品合格;否则,就认为该盒产品不合格.已知某盒电子元件中有2件次品.(Ⅰ)求该盒电子元件被检验认为不合格的概率P1;(Ⅱ)若对该盒电子元件分别进行4次检验,且每次检验是相互独立的,则4次检验中至少有2次检验能够确定该盒产品合格的概率P2是多少？[解析]:[练习2]:2第十九讲:概率分析1.①(2007年武汉大学保送生考试试题)投掷骰子两次,两个点数之差的绝对值为3的概率为.②(2005年复旦大学保送生考试试题)一个班20个学生,有3个女生,抽4个人去参观展览馆,恰好抽到1个女生的概率为.2.①(2007年武汉大学保送生考试试题)某工厂新招了8名工人,其中有2名车工和3名钳工,现将这8名工人平均分配给甲、乙两个车间,那么车工和钳工均不能分配到同一个车间的概率为()(A)3512(B)356(C)3518(D)359②(2010年“北约”自主招生试题)12名职员(其中3名为男性)被平均分配到3个部门.(Ⅰ)求此3名男性被分别分配到不同部门的概率;(Ⅱ)求此3名男性被分到同一部门的概率;(Ⅲ)若有一名男性被分到指定部门,求其他2人被分到其他不同部分的概率.3.计数技巧:[例3]:(2004年上海交通大学保送生考试试题)n×n的正方格,任取得长方形是正方形的概率是.[解析]:[练习3]:1.①(2003年同济大学保送生考试数学试题)从1～100这100个自然数中取2个数,它们的和小于等于50的概率是.②(2004年同济大学保送生考试数学试题)从0,1,2,…,9这10个数码中随机抽出5个,排成一行,则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是(用分数给出答案).2.①(2006年复旦大学保送生考试试题)复旦大学外语系某年级举行一次英语口语演讲比赛,共有10人参加,其中一班有3位,二班有2位,其他班有5位.若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序,则一班的3位同学恰好演讲序号相连,二班的2位同学的个演讲序号不相连的概率是()(A)201(B)401(C)601(D)901②(2009年中科大保送生考试数学试题)已知正方体各面的中心,甲乙分别相互独立地从这6个点中取出3个,则构成两个三角形全等的概率是.(2009年安徽高考试题)(文)考察正方体6个面的中心,从中任意选3个点连成三角形,再把剩下的3个点也连成三角形,则所得的两个三角形全等的概率等于()(A)1(B)21(C)31(D)04.几何概型:[例4]:(2010年“华约”自主招生试题)在蒲丰投钟试验中,平行线间距为a,针长为b,试求针与线相交的概率与a、b的关系,并求什么情况下概率是1.[解析]:[练习4]:1.①(2009年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在区间[-1,1]上随机取一个数x,cos2x的值介于0到21之间的概率为()(A)31(B)2(C)21(D)32②(2011年全国高中数学联赛陕西初赛试题)如图,矩形OABC的四个顶点的坐标依次为(0,0)、(2π,0)、(2π,2)、(0,2),记BC边与函数y=1+cosx(0≤x≤2π)的图像围成的区域(图中阴影部分)为Ω.若向矩形OABC内任意投一点M,则点M落在区域内Ω的概率是.③(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)设m,n为实数,且直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点,则关于x的方程x2+OAOBC第十九讲:概率分析32mx+n2=0有实根的概率为.③(2009年全国高中数学联赛陕西初赛试题)把长为a的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为.同类问题有:1.(2009年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)把长为1的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为;2.(2012年全国高中数学联赛河南初赛试题)将长为3的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为___.3.(2011年全国高中数学联赛广东初赛试题)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？④(2011年复旦大学保送生考试试题)在半径为1的圆周上随机选取3点,它们构成一个锐角三角形的概率是()(A)21(B)31(C)41(D)51请同学们思考:它们构成直角、钝角三角形的概率分别为多少？(0,43).2.①(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)甲乙二人相约10天之内在某地会面,约定先到的人等候另一个人,经过3天以后方可离开.若他们在限期内到达目的地是等可能的,则此二人会面的概率为.②甲、乙、丙、丁四人约定在晚上7时至8时之间在某地点会面,并约定先到者等候15分钟,过时即可离去.求这四人能会面的概率.5.对立事件:[例5]:(2010年北京工业大学自主招生数学试题)甲、乙两人先后掷一枚均匀的正方体骰子(其六个面分别标有点1,2,3,4,5,6),甲掷后朝上的点数记为a,乙掷后朝上的点数记为b.(Ⅰ)求a与b中至少一个是6的概率;(Ⅱ)求使log2ab的值为整数的概率.[解析]:[练习5]:1.①(2008年武汉大学保送生考试试题)口袋里装有一些大小的红球、白球和黑球,从中随机摸出一个球,摸出红球的概率为0.4,摸出白球或红球的概率为0.58,那么摸出黑球的概率是.②(2007年武汉大学保送生考试试题)投掷骰子两次,至少有一次出现1点或2点的概率为.③(2005年上海交通大学保送生考试试题)4封不同的信放入4只写好地址的信封中,装错的概率为,恰好只有一封装错的概率为.2.①(2007年上海交通大学保送生考试试题)6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后顺序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为.②(2008年复旦大学保送生考试试题)一批衬衣中有一等品和二等品,其中二等品率为0.1.将这批衬衣遂件检测后放回,在连续三次检测中,至少有一件是二等品的概率为()(A)0.271(B)0.343(C)0.1(D)0.081③(2009年复旦大学保送生考试试题)某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率均为21.现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是()(A)6439(B)6425(C)6431(D)64296.事件关系:[例6]:(2007年清华大学自主招生数学试题)已知某音响设A:0.90D:0.94备由五个部件组成,A电视机、B影碟机、C线路、D左声道和C:0.95E右声道,其中每个部件工作的概率如下图所示.B:0.95E:0.94能听到声音,当且仅当A与B中有一工作,C工作,D与E中有一工作,且若D和E同时工作则有立体声效果.求:(Ⅰ)能听到立体声效果的概率;(Ⅱ)听不到声音的概率.[解析]:[练习6]:4第十九讲:概率分析1.①(2008年南京大学保送生考试试题)设A、B是随机事件,且P(A)=85,P(B)=41,P(A∪B)=21,则P(BA)=.②(2011年湖北高考试题)如图,用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统.A1当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、A1、A2K正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为.A22.①(2009年华南理工自主招生数学试题)甲、乙两人下围棋,下三盘棋,甲平均能赢两盘.某日,甲、乙进行五打三胜制比赛,那么甲胜出的概率为.②(2009年安徽高考试题)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染,对于C,因为难以断定他是受A还是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是21.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是31.在这种假定之下,B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列(不要求写出计算过程),并求X的均值(即数学期望).7.条件概率:[例7]:(2007年武汉大学保送生考试试题)从一个装有3个红球、2个白球的口袋中任取球放入一个箱子中.(Ⅰ)求箱子中两球都是红球的概率;(Ⅱ)记“从箱子中任意取出一球,然后放入箱子中”为一次操作,如果操作三次,求恰有两次取到红球的概率.[解析]:[练习7]:1.①(2011年辽宁高考试题)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B︱A)=.②(2011年湖南高考试题)EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE内”,则(1)P(A)=________;(2)P(B|A)=.2.(2010年安徽高考试题)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件.再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是(写出所有正确结论的编号).①P(B)=52;②P(B|A1)=115;③事件B与事件A1相互独立;④A1,A2,A3是两两互斥的事件;⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1,A2,A3中究竟哪一个发生有关.8.递推概率:[例8]:(2012年“华约”自主招生数学试题)系统内有2k-1个元件,每个元件正常工作的概率为p(0p1),若