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考研数学三(线性代数)模拟试卷141(总分:56.00,做题时间:90分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________解析:2.设A、B均为n阶非零矩阵,且AB=O,则A与B的秩()(分数:2.00)A.必有一个为零B.均小于n√C.一个小于n,一个等于nD.均等于n解析:解析:因A≠O,B≠O,故r(A)≥1,r(B)≥1.又AB=Or(A)<n,否则r(A)=n,则A可逆,有A-1AB=O,即B=O,这与B≠O矛盾,故必有r(A)<n,同理有r(B)<n,故只有B正确.3.设有向量组α1=(1,-1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,-2,2,0),α5=(2,-1,5,10).则该向量组的极大无关组是()(分数:2.00)A.α1,α2,α3B.α1,α2,α4√C.α1,α2,α5D.α1,α2,α4,α5解析:解析:由下列矩阵的初等行变换:A=[α1T…α5T]知α1,α2,α4是一个极大无关组.或用排除法:因α3=3α1+α2.α5=2α1+α2,故A、C、D组都是线性相关的,因而只有B正确.4.设α1=(a1,a2,a3)T,α2=(b1,b2,b3)T,α3=(c1,c2,c3)T.则3条平面直线a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0,i=1,2,3)交于一点的充分必要条件是()(分数:2.00)A.α1,α2,α3线性相关B.α1,α2,α3线性无关C.秩r(α1,α2,α3)=秩r(α1,α2)D.α1,α2,α3线性相关,而α1,α2线性无关√解析:解析:题设3条直线交于一点联立线性方程组xα1+yα2+α3=0有唯一解(x,y)T.由该非齐次线性方程组有唯一解(α1,α2)=r(α1,α2,-α3)=2α1,α2线性无关,而α1,α2,α3线性相关,即知D正确.注意C中的条件只保证了方程组有解,但不能保证解是唯一的,故C不对.二、填空题(总题数:5,分数:10.00)5.(分数:2.00)填空项1:__________________(正确答案:正确答案:an+(-1)n+1+bn.)解析:6.设A=,B为3阶非零矩阵,且AB=O,则t=1.(分数:2.00)填空项1:__________________(正确答案:正确答案:-3.)解析:解析:在条件下必有|A|=0(否则|A|≠0,则A可逆,用A-1左乘AB=O两端,得B=O,这与B≠O矛盾),t=-3.7.设矩阵B=,已知矩阵A相似于B,则秩(A-2E)与秩(A-E)之和等于1.(分数:2.00)填空项1:__________________(正确答案:正确答案:4.)解析:解析:由条件知存在可逆矩阵P,使P-1AP=B,P-1(A-2E)P=P-1AP-2E=B-2E,即A-2E与B-2E相似,故有r(A-2E)=r(B-2E)同理得r(A-E)=r(B-E)故r(A-2E)+r(A-E)=3+1=4.8.若向量组α1=(1,1,λ)T,α2=(1,λ,1)T,α3=(λ,1,1)T线性相关,则λ=1.(分数:2.00)填空项1:__________________(正确答案:正确答案:1或-2.)解析:解析:由行列式|α1α2α3|=-(λ-1)2(λ+2)=0,λ=1或λ=-2.9.设λ1,λ2为n阶实对称矩阵A的两个不同特征值,x1为对应于λ1的一个单位特征向量,则矩阵B=A-λ1x1x1T有两个特征值为1.(分数:2.00)填空项1:__________________(正确答案:正确答案:0,λ2.)解析:解析:Bx1=Ax1-λ1x1(x1Tx1)=λ1x1-λ1x1=0=0x1,设x2是A属于λ2的特征向量,则Bx2=Ax2-λ1x1(x1Tx2)=Ax2-λ1x10=Ax2=λ2x2,故B有特征值0和λ2.三、解答题(总题数:16,分数:38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。__________________________________________________________________________________________解析:11.设行列式已知1703,3159,975,10959都能被13整除,不计算行列式D,试证明D能被13整除.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:将D的第1列的1000倍、第2列的100倍、第3列的10倍都加到第4列,则所得行列式第4列每个元素都有公因子13.)解析:12.设矩阵A、B满足关系式AB=A+2B,其中A=,求B.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:B=(A-2E)-1A)解析:设n阶方阵A、B满足A+B=AB.(分数:4.00)(1).证明:A-E为可逆矩阵;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:由AB-B-A=O,(A-E)B-(A-E)=E,(A-E)(B-E)=E,即知A-E可逆;)解析:(2).当B=时,求A.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:A=E+(B+E)-1(或A=B(B-E)-1))解析:13.已知3阶方阵A=(aij)3×3的第1行元素为:a11=1,a12=2,a13=-1.(A*)T其中A*为A的伴随矩阵.求矩阵A.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:由(A*)T知A11=-7,A12=5,A13=4,|A|=a11A11+a12A12+a13A13=-1,又由AA*=|A|E=-E,A=-(A*)-1)解析:14.设向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αr线性无关,且(Ⅰ)可由(Ⅱ):β1,β2,…,βs线性表示.证明:在(Ⅱ)中至少存在一个向量βj,使得向量组βj,α2,…,αr线性无关.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:用反证法.否则对(Ⅱ)中每个向量βj,向量组βj,α2,…,αr都线性相关βj可由α2,…,αr线性表出(Ⅱ)可由α2,…,αr线性表出(Ⅰ)可由α2,…,αr线性表出α1可由α2,…,αr线性表出,这与(Ⅰ)线性无关矛盾.)解析:15.若齐次线性方程组Ax=0的解都是齐次线性方程组Bx=0的解,则有r(A)≥r(B).(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:设方程组Ax=0及Bx=0都是n元方程组,则由题设条件有n-r(A)≤n-r(B),所以有r(A)≥r(B).)解析:已知α1=(1,0,2,3),α2=(1,1,3,5),α3=(1,-1,a+2,1),α4=(1,2,4,a+8),β=(1,1,b+3,5).(分数:4.00)(1).a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:a=-1且b≠0.)解析:(2).a、b为何值时,β可表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?并写出该表示式.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:当a≠-1时,β可由α1,α2,α3,α4唯一地线性表示为:β=α3+0α4;当a=-1且b=0时,β可由α1,α2,α3,α4线性表示为:β=(-2c1+c2)α1+(1+c1-2c2)α2+c1α3+c2α4(c1,c2为任意常数).)解析:16.设矩阵A、B的行数都是m,证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(AB).(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:设B、X按列分块分别为B=[b1b2…bp].X=[x1x2…xp],则AX=B,[Ax1Ax2…Axp]=[b1b2…bp]Axj=bj(j=1,2,…,p),故AX=B有解Axj=bj(j=1,2,…,p)有解,故由非齐次线性方程组Axj=bj有解的充要条件可知,AX=B有解r(A)=r(Abj)(j=1,2,…,p)r(A)=r[Ab1b2…bp]=r[AB].)解析:17.设α1,α2,…,αk(k<n)是Rn中k个线性无关的列向量.证明:存在n阶满秩方阵P,使得P以α1,α2,…,αk为其前k列.(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:取齐次线性方程组的基础解系ξ1,…,ξn-k,则可证明α1,…,αk,ξ1,…,ξn-k线性无关:设λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn-kξn-k=0,两端左乘(λ1α1+…+λkαk)T,并利用αiTξj=0(i=1,…,k;j=1,…,n-k),得(λ1α1+…+λkαk)T(λ1α1+…+λkαk)=0,即‖λ1α1+…λkαk‖=0,λ1α1+…+λkαk=0,而α1,…,αk线性无关,λ1=…=λk=0,μ1ξ1+…+μn-kξn-k=0,又ξ1,…,ξn-k线性无关,μ1=…=μn-k=0,于是证得α1,…,αk,ξ1,…,ξn-k线性无关,令矩阵P=[α1…αkξ1…ξn-k],则P为满秩方阵,且以α1,…,αk为其前k列.)解析:设矩阵A=与矩阵B=相似.(分数:4.00)(1).求a,b的值;(分数:2.00)__________________________________________________________________________________________正确答案:(正确答案:A的特征值为2,2,b,由2+2+b=1+4+a,2×2×b=|A|=6(a-1),a=5,b=6;)解析:(2).求一个可逆
本文标题:考研数学三(线性代数)模拟试卷141
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