平面向量与三角形的心综合

向量与三角形内心、外心、重心、垂心综合一、三角形外心的性质性质1：三角形三边中垂线的交点，G为外接圆圆心性质2：点G是ABC外心：GAGBGCGA2=GB2=GC2(G到三顶点距离相等)(GA+GB)·AB=(GB+GC)·BC=(GC+GA)·CA=0(G为三边中垂线交点)性质3：正弦定理：2sinsinsinabcRABC，R为ABC的外接圆半径二、三角形内心的性质性质1：三角形的三个角平分线的交点，O内切圆圆心。性质2：三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径R性质3：内角平分线定理：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，则有：BDABCDAC性质4：设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心,OOCcOBbOAa0为ABC的内心证明：bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，bACcAB平分BAC,(AObACcAB)，令cbabc，cbabcAO（bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAaABCGOEFDABC性质5：O是ABC的内心的充要条件是0ABACBABCCACBOAOBOCABACBABCCACB性质6：已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的内心．三、三角形重心的性质性质1：三角形三边中线的交点性质2：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离比为2：1，即21GAGBGC==GDGEGF性质3：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，即ABGACGBCGSSS性质4：重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为123123,33xxxyyyG性质5：O是ABC的重心0OCOBOAG为ABC的重心)(31PCPBPAPGP是△ABC平面内任一点.G是△ABC的重心)(31PCPBPAPG.证明如下：CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPG∵G是△ABC的重心∴0GCGBGA0CGBGAG，即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG.ABCDEFG性质6：已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心.四、三角形垂心的性质性质1：垂心为三角形三边高的交点；性质2：OAOCOCOBOBOAO为ABC的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB同理BCOA，ABOCO为ABC的垂心性质3：已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心．例题1：是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的解析：如图所示ABC，ED、分别为边ACBC、的中点.ADACAB2，ADOAOP2ABCDEOABCDEAPOAOP，ADAP2AP//AD点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.例题2：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)(ACACABABOAOP，,0，则点P的轨迹一定通过ABC的解析：ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量，ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.例题3：O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则点P轨迹一定通过ABC解析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.巩固练习：练习1：已知O，N，P在ABC所在平面内OA=OB=OC,0NANBNC,PAPBPBPCPCPA则点,,OPN依次ABC是的()A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心ABCDE解析：C练习2：已知点O是ABC的重心，内角ABC、、所对的边长分别为abc、、，且23203aOAbOBcOC，则角C的大小是.解析：3∵点O是ABC的重心，∴0OAOBOC又∵23203aOAbOBcOC∴2323abc222222323331cos22323233cccabcCabcc，∴3C练习3：已知P是ABC所在平面内任意一点，且+3PAPBPCPG,则G是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心解析：C+3PAPBPCPG()()()00PAPGPBPGPCPGGAGBGC∴G是ABC的重心练习4：O是ABC所在平面内一定点，若动点P满足1,2OPOAABBC0，+∞,则P的轨迹一定经过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心解析：B