数学建模有关紧急调兵和最佳乘车路线问题

《数学模型与数学软件综合训练》论文训练题目：一紧急调兵问题二最佳乘车路线学号：06500125姓名：刘永旺兰州理工大学计通院信息与计算科学专业2009年春季学期06500125刘永旺09年春数学模型与数学软件综合训练2目录一前言..........................................................................................................................................3二紧急调兵问题..........................................................................................................................31论文摘要...............................................................................................................................32问题重述与分析...................................................................................................................33假设与模型...........................................................................................................................33.1模型假设.......................................................................................................................33.2模型建立.......................................................................................................................43.3问题求解.......................................................................................................................4三最佳乘车路线..........................................................................................................................61论文摘要...............................................................................................................................62问题重述与分析...................................................................................................................63假设与模型...........................................................................................................................63.1模型假设.......................................................................................................................63.2符号说明.......................................................................................................................63.3模型的建立...................................................................................................................73.4问题的求解...................................................................................................................7四总结......................................................................................................................................10五参考文献..............................................................................................................................111参考文献一........................................................................................................................112参考文献二........................................................................................................................1106500125刘永旺09年春数学模型与数学软件综合训练3一前言在现实生活中我们有许多实际问题需要解决，而怎么去解决这些问题就成为我们要讨论的主要问题，通常采用建立数学模型的方法，这样如何合理建立所要解决问题的模型就成了关键，所建立的数学模型不仅要在模型假设中通过分析研究能得到所要的结果，而且必须具有可行性，通过模型建立能够最终解决问题，这是我们建立数学模型的目的。在数学模型的建立过程中分析问题是关键，首先应该搞清楚需要解决什么问题，然后从问题入手考虑通过什么方法用哪些因素能一步得到要求因素，其中会用到我们学过的数学知识，用合适的建立模型的方法，如本模型步中用到的单因素模型，逐步回归模型等模型，通过数据拟合相应函数等方法，通过函数分析并结合图形，判断优化方案，并考虑各组成因素的变化情况，同时考虑各因素的交互效应，这样才能建立出合理的数学模型。在模型建立过程中借助图表，曲线图的功能更加直观，简要易懂，并对所建模型作进一步分析和改进，使得所建模型更能反映实际情况。二紧急调兵问题1论文摘要由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调运之乙地。但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都乘上车。为了使这n名战斗人员以最短的时间到达目的地，必须得有一部分战斗人员紧急行军，这样就可以保证所有人员同时到达目的地。关键词：紧急调兵；人行军；时间最短2问题重述与分析由于战斗需要，所有人员必须在最短时间里同时到达，才能保证需求。目前是车少人多，所有人不能同时乘车到达目的地，有一部分人需要行军前进。现有m辆车，n人，每辆车可以载b人。车辆先运走一部分行军速度慢的，到达一定的地方，然后这些人行军，车辆返回在后面的行军人中间运走相对行军慢的，以此类推，车辆最后运的人员和所有的战斗人员同时到达目的地。3假设与模型3.1模型假设1)将这n名战斗人员中最后一个运到乙地算完成任务，以部队从甲地出发起，到第n名战斗人员到达乙地的运输时间为目标，不考虑先期到达战斗人员的军事价值;2)车速和人行速均按最大速度计算，不考虑人员劳累和车辆加油问题，也不考虑道路的影响;3)战斗人员上下车的时间可忽略不计;4)设每辆车载b人（不包括驾驶员）；车速是人行军速度的k倍（k1）;5)设j是大于1的整数，如当j=2时，说明n名战斗人员一分为二，一半乘车，一半行军，到了中途某一点，让乘车人员下车行军前进，车辆返回接另一部分人员，最后和第一批人员同时到达目的地。06500125刘永旺09年春数学模型与数学软件综合训练43.2模型建立设甲地到乙地距离为1个长度单位，人行军速度为1个速度单位，车速为k。设最优方案中人行军路程为y（因同时到达，每个人行军路程都是y），则每个人乘车路程为1-y，0y1。设最有调运方案中，车向前行走的路程为x（因m辆车同时到达，车速相同，每辆车前进路程为x），后退路程为x-1，x1。最优方案中人与车同时到达乙地，所用时间相同，所以y+（1-y）=21xk,(1)因为n=mbj，所以车向前时，mb个人乘车，车向后开时，无人乘车；而车向前开的时间为x/k，向后开的时间为（x-1）/k，所以在最优调运方案中，平均乘车人数为:121(0*)/21xxxxmbmbkkkx(2)所以在最有方案中最小平均速度的最大值上界（在车和人同时到达乙地的方案可行时）为：1(1)(*)/112121(21)(21)xmbxmbkkxknnxmbxxnxxj(3)由（3）式可见平均速度大于人行军速度，且k越大平均速度越大，j越大，平均速度越小，显然是合理的。而根据（1）式，最优方案的平均速度为：1(21)21kxjx(k-1)x(4)由此可得到关于x,y的方程组1(21)1(1)kxjky(k-1)x1(21)21kxjx(k-1)x解次方程组得：2x-2=(k-1)y,(1)12kjxkj(5)2(1)12jykj(6)由（6）式可见，其余条件相同情况下车速越快，战斗人员行军路程越短，这也说明公式是正确的。在达最大速度情况下，人行军路程与车行军路程均已求出，下一步我们考虑实现这一上界的方案。显然使平均速度达（3）式的任一可行方案均为最优方案，但其中某方案使人员上下车次数越少，车辆调整方向次数越少，越方便，实际效果越好。3.3问题求解1）开始让车满载，车和人同时出发；2）当车开到1-y地方，让车商的战斗人员下车行军前进，车辆往回开；3）当返回车辆遇上正在行军的战斗人员时，让其中任意mb个人乘车前进，余下的人继续行军前进；06500125刘永旺09年春数学模型与数学软件综合训练54）当车遇到正在前面行军的战斗人员时，停车，并让车上mb个人下车与这一批人一起行军前进，车辆再返回；5）如此直至最后mb个战斗人员也上车，并与其他战斗人员共同到达乙地。这样在行进的过程中，一前一后的两个集团，有时共（j-1）mb个人在行军前进，mb个人在这两个集团之间乘车由后往前赶。而当车辆返回时，两大集团共计n个人在行军前进。随着时间的推移，第一集团每次增加mb个人，第二集团每次减少mb个人，直至第二集团完全消失，第一集团达（j-1）mb人，与最后乘车的mb人同时到达乙地。由于n=mbj，显然这一方案是可行的。则只需证明此方案是最优的即可：前已计算最佳方案中每个人应步行的距离为y，应乘车前进的距离是1-y。因每个人不是乘车就是行军前进，故只要乘车距离达到1-y，即达到了理想的平均速度。由方案可知，第一