定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结

定积分和微积分基本定理知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效fx在区间[a，b]上连续.用分点0121iiaxxxxx-=Lnxb=L将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为xD（baxn-D=），在每个小区间[]1,iixx-上任取一点1,2,,iin，作和式：1()nniiSfx1()niibafn，当xD无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分．记为：()baSfxdx，()fx为被积函数，x为积分变量，[,]ab为积分区间，b为积分上限，a为积分下限．需要注意以下几点：（1）定积分()bafxdx是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n时），称为()bafxdx，而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n等分区间[],ab；②近似代替：取点1,iiixx；③求和：1()niibafn；④取极限：1()limnbianibafxdxfn（3）曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功(x)baSFdx2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],ab上函数()fx连续且恒有()0fx，那么定积分bafxdx表示由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx=所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分bafxdx的几何意义．一般情况下，定积分()bafxdx的值的几何意义是介于x轴、函数()fx的图像以及直线,xaxb==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．二、基本性质性质11badxba.性质2()()(0)bbaakfxdxkfxdxk其中是不为的常数（定积分的线性性质）.性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx（定积分的线性性质）.性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb其中（定积分对积分区间的可加性）推广11212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx推广2121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx．三、基本定理设函数()fx是在区间[,]ab上连续，且Fx是()fx是在[,]ab上的任意一个原函数，即'()()Fxfx，则()()()bafxdxFbFa，或记为()babfxdxFxa()()FbFa，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数fx的一个原函数Fx．然后计算原函数Fx在区间,ab上的增量()()FbFa即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型1定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算．例3.25计算12-1sinxxdx=．解析123-111112sin=coscos1cos113333xxdxxx．A.B.C.D.变式1421dxxA.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2变式210(2)xexdxA.1B1e.C.eD.+1e变式3设函数20fxaxca，若100001fxdxfxx，则0x的值为．变式4设函数yfx的定义域为R,若对于给定的正数k，定义函数,(),kkfxkfxfxfxk，则当函数1,1fxkx时，定积分214kfxdx的值为（）A.2ln22B.2ln21C.2ln2D.2ln21例3.26根据定积分的几何意义计算下列定积分（1）402xdx；（2）1211xdx分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故4020xdx．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线2210xyy和x轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2，故1211=2xdx．评注定积分baxdx的几何意义是函数和直线,xaxb以及x轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,0fx面积是正值，当函数0fx时，积分值是负值．变式1根据定积分的几何几何意义计算下列定积分．（1）402xdx；（2）0224xdx；（3）100sinxdx；（4）344sinxdx．题型52求曲边梯形的面积思路提示函数,yfxygx与直线,xaxbab围成曲边梯形的面积为|fg|dxbaSxx，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限．例3.27由曲线23,yxyx围成的封闭图形的面积为（）A.112B.14C.13D.712解析由23xx得01,xx或则由2yx和3yx围成的封闭图形的面积为1233401111110343412xxdxxx，故选A．变式1（2012湖北理3）已知二次函数yfx的图象如图3-16所求，则它与x轴所围成图形的面积为（）A.25B.43C.32D.2变式2由曲线2yx和直线20,1,,0,1xxytt所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（）11yxO图3-161111A.23B.13C.12D.14变式3求抛物线24yx与24yx围成的平面图形的面积．变式4求由两条曲线2214,y4yxx和直线4y所围成的面积．最有效训练题1.已知函数223fxxx，则11fxdx（）A.-2B.163C.-4D.1632.定积分12011xxdx（）A,24B.12C.14D.123.设2,0,12,(1,2]xxfxxx，则20fxdx（）A.34B.45C.56D.不存在4.222000,,sinxaxdxbedxcxdx，则,,abc的大小关系是（）A,acbB.abcC.cbaD.cab5.曲线sin,cosyxyx与直线0,2xx所围成的平面区域的面积为（）A,１B.２C.21D.2216.由直线,,033xxy与曲线cosy所围成的平面图形的面积为（）A,12B.１C.32D.37.抛物线22yx与直线4yx围成的平面图形的面积为．8.已知fx是偶函数，且506fxdx，则55fxdx．9.202|1x|dx．10.已知函数yfx的图象是折线段ABC，其中10,0,5,1,02ABC，．函数01yxfxx的图象与x轴所围成的图形的面积为．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx；（２）22411xdxx；（３）211xxdx；（４）20cos2xdx；（５）20cos2cossinxdxxx１２．有一条直线与抛物线2yx相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．