九(上)第一章：证明(二)试题

-1-第一部分：基础复习九年级数学(上)第一章：证明(二)一、中考要求：1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力．2．进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义．3．了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形、线段垂直平分线、角平分线等有关的性质、定理及判定定理．4．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立．5．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：2012、2013年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:序号所考知识点比率1三角形全等的判定定理5~7%2命题6~7%(二)中考热点：新课标对本章的要求不高，但比较简单的几何证明题仍是2014年中考的热点题型三、中考命题趋势及复习对策本章主要考查对命题、定理等概念的理解及运用定义、定理证明问题的过程，在中考题中以证明题的形式出现，一般占5～7分，因此同学们在复习时应注意认真理解概念，分清题目的条件和结论，正确地写出证明过程。★★★(I)考点突破★★★考点1：利用定理证明一、考点讲解：公理1、一直线截两条平行线所得的同位角相等，公理2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行．公理3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等．公理4．全等三角形的对应边相等，对应角相等．定理1.平行线的性质定理：两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．定理2．平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行．定理3．三角形的内角和定理及推论：三角形的内角和等于180°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．定理4．直角三角形全等的判断定理：有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．定理5．角平分线性质定理及逆定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；三角形的三条角平分线相交于一点（内心）定理6．垂直平分线性质定理及逆定理：线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）定理7．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．定理8、等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质和判定定理．二、经典考题剖析：【考题1－1】（深圳南山）如图l－l－1，AB、CD交于点E，AD=AE，CB=CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．（1）求证：AF⊥DE；（2）求证：FH=GH．证明：-2-【考题1－2】（湛江）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明..三、针对性训练：1．如图1－1－4，Rt△ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高；DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则图中与∠C（除∠C外）相等的角的个数是（）A．2B．3C．4D．52．如图1－1－5，△ABC中，△ABC和△ACB的外角平分线交于点O，设∠BOC=α，则∠A等于（）.90-2B.90-2.180-2.180-2ACD3．如图1－1－6，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个4．如图1－1－7，△ABC是直角三角形，BC是斜边，△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP重合，如果AP=3，那么PP′的长等于（）A．3B．23C．32D．45．如图1－1－8，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D、E、F分别是三边的中点，且CF=2cm，则DE=_________cm．6、如图1－1－9，在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，要使△ABC≌△DEF，根据三角形全等的判定定理，还需添加条件______________（填上你认为正确的一种）．7．在方格纸上有一个△ABC，它的顶点位置如图1－1－10所示，则这个三角形是________三角形．8．如图1－1－1所示，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得ΔA′B′C′交AC于点D，若∠A′DC-3-=90o，则∠A=__________.9．如图1－l－12，△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为14，BC=6，则AB长为______________.10如图1－1－13，在△ABC中，∠BAC=90在，延长BA到D，使AD=12AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于点G，求证：AG=DG．考点2：命题一、考点讲解：1．命题的组成：命题由条件和结论两部分组成．2．命题的形式：命题的形式通常写成“如果……，那么……”的形式．3．真命题与假命题：正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题（注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题〕二、经典考题剖析：【考题2－1】（湖南长沙）请用“如果…，那么……”的形式写一个命题：_________________.【考题2－2】（南宁）如图1－1－14，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况）①AE=AD②AB=AC③OB=OC④∠B=∠C【考题2－3】（江苏盐城）下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．菱形的对角线相等且互相平分三、针对性训练：1．下列命题中，真命题是（）A．面积相等的两个三角形是全等三角形B．有两边及一组对应角相等的两个三角形全等C．全等三角形的周长相等D．有一条直角边对应相等的两个三角形全等2．下列命题中正确的是（）A．实数是有理数B．无限小数是无理数C．数轴上的点与有理数一一对应D．数轴上的点与实数一一对应3．下列命题为假命题的是（）A．等腰三角形的两腰相等B．等腰三角形的两底角相等C．等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合D．等腰三角形是中心对称图形4．下列的真命题中，它的逆命题也是真命题的是（）A．全等三角形的对应角相等B．两个图形关于轴对称，则两个图形是全等形C．等边三角形是锐角三角形D．直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.5．如图1－1－15，在△ABC中，CD⊥AB，请你添加一个条件，写出一个正确的结论（不在图中添加辅助线）条件：_____________________________________结论：_____________________________________-4-6．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是__________________________.7．如图1－1－16，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，给出5个论断：①CD⊥AB；②BE⊥AC；③AE=CE；④∠ABE＝30°；⑤CD=BE⑴如果论断①、②、③、④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：________________________.⑵从论断①、②、③、④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是________________．（只需填论断的序号）⑶用⑵中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明．考点3：尺规作图一、考点讲解：1．五种基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线；作三角形．2．尺规作图要求：了解尺规作图的步骤，会写已知、求作和作法（不要求证明）．二、经典考题剖析：【考题3－1】（湖北宜昌）如图1－l－17，已知△ABC，（1）作∠B的角平分线（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)（2）若∠C=90○，∠B=60○，BC=4，∠B的平分线交AC于点D，请求出线段BD的长．三、针对性训练：1．利用基本作图，不能作出唯一三角形的是（）A．已知三边B．已知两边及夹角C．已知两角及夹边D.已知两边及其中一边的对角2．用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知两条直角边B．已知两个锐角C．已知一直角边和一锐角D已知斜边和一直角边3．作线段的垂直平分线的理论，根据是_______和两点确定一条直线．4．请根据图1－l－19所示的作图痕迹，填写画线段AB的垂直平分线的步骤．第一步：分别以_______、________为圆心，以大于_________半的长度为半径画弧，两弧在AB的两侧分别相交于点_____和_______；第二步：经过点_______和______画______，直线CD就是线段AB的垂直平分线．5、∠AOB如图1－l－20所示，请用直尺和圆规作出∠AOB的平分线．要求保留作图痕迹，不写作法）-5-6．如图1－l－20是由1个圆1个半圆和1个三角形组成的图形．请你以直线AB为对称轴，把原图形补成轴对称图形．（用尺规作图，不要求写做法和证明，但要保留作图痕迹）★★★(II)新课标中考题一网打尽★★★【回顾1】（杭州）如图1－1－22,在等腰RtABC中,AC=BC,以斜边AB为一边作等边ABD,使点C,D在AB的同侧;再以CD为一边作等边CDE,使点C,E落在AD的异侧.若AE=1,则CD的长为（）(A)31(B)312(C)62(D)622【回顾2】（安徽）下面是数学课堂的一个学习片断．阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手讲“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°”．还有一些同学也提出了不同的看法．（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）【回顾3】（温州）如图，在Rt△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点P沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)。⑴、求x为何值时，PQ⊥AC；⑵、设△PQD的面积为y(cm2)，当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；图1－1－23⑶、当0＜x＜2时，求证：AD平分△PQD的面积；⑷、探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系。请写出相应位置关系的x的取值范围(不要求写出过程)【回顾4】（衢州）已知：如图1－1－24，AG∥BC，DE∥AG，GF∥AB，点点E为AC的中点，求证：DE=FC【回顾5】（衢州）已知：如图1－1－25，△ABC中，∠B=90°，∠BAD=∠ACB,AB=2，BD=l，过点D作DM⊥AD交AC于点M，DM的延长线与过点C的垂线交于点P．(1)求sin∠ACB的值；(2)求MC的长；(3)若点Q以每秒1个DABCQOP图1－1－24图1－1－5-6-单位的速度由点C向点P运动，是否存在某一时刻t，使四边形ADQP的面积等于四边形ABCQ的面积；若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【回顾6】（重庆）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD【回顾7】（临沂）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30。，则顶角的度数为（）(A)60(B)120(