期权定价与动态无套利均衡分析

第五章期权定价与动态无套利均衡分析内容提要期权简介期权定价的无套利关系买权和卖权的平价关系期权的基本概念期权的定义期权的分类期权的要素期权价格构成期权交易的盈亏分析一、期权简介期权的定义期权(option)又称选择权，是指其持有者能在规定的期限内按交易双方商定的价格（执行价格）购买或出售一定数量的某种特定商品的权利。期权交易就是对这种选择期权的买卖。期权的分类从交易者的买卖行为划分：买入期权(又称看涨期权（CallOption）)和卖出期权（又称看跌期权（PutOption））按照合约所规定的履约时间不同：欧式期权和美式期权按照期权标的物性质不同：即商品期权和金融期权期权的种类（续）按交易场所分：交易所交易期权和柜台交易(OTC)期权按执行价与标的物市场价格的关系分：实值期权、平值期权和虚值期权。市值期权即如果期权立即履约，买方具有正值的现金流，对期权的买方有利；平值期权即如果立即履约，买方现金流为0；虚值期权即如果立即履约，买方现金流为负，对期权卖方有利。实值期权、平值期权和虚值期权与看涨、看跌期权的关系：看涨期权（买权）看跌期权（卖权）实值期权市场价格执行价市场价格执行价平值期权市场价格=执行价市场价格=执行价虚值期权市场价格执行价市场价格执行价期权的要素期权合约的构成要素主要有以下几个：期权合约有效期(maturitydate)：期权合约在时间上的规定执行价格(strikeprice)：即期权的买方行使权利时买卖期权标的物的价格标的物数量：即期权交易双方买卖标的物的具体数量期权价格(optionprice)：期权买方为获得期权支付给期权卖方的费用保证金：期权的卖方收取期权费后，必须履行期权合约。为了保证卖方履行期权合约，防范在买方执行期权时卖方出现违约现象，期权的卖方必须支付一定的费用，用于保证卖方履行期权合约义务的财务担保。期权卖方支付的费用成为保证金。期权价格构成期权价格主要由内涵价值(intrinsicvalue)和时间价值(timevalue)两部分构成：内涵价值：期权买方立即执行合约时可获取的收益，它反映了期权合约执行价与标的物市场价格之间的关系。对看涨期权来说，内涵价值=max(标的物市价-合约执行价,0)；对看跌期权来说，内涵价值=max(合约执行价-标的物市价,0)。时间价值：对期权卖方来说反映了期权交易时间内的时间风险，对期权买方来说反映了期权内涵价值在未来增值的可能性。可以这样理解：期权买方希望随着时间的延长，标的物价格波动可能使期权增值，因而愿意支付高于内涵价值的权利金；期权卖方由于要冒时间风险，也要求高于内涵价值的权利金。通常期权的有效期越长，期权的时间价值越大。随着期权临近到期日，其时间价值逐渐变小；期权到期时不再具有时间价值。期权交易的盈亏分析X：执行价C:期权费S：标的物市场价格看涨期权买方的盈亏可以用下面的数学公式计算：看涨期权买方收益率曲线看涨期权卖方收益率曲线()SX()SX(=SXCC执行期权放弃执行期权）盈亏盈亏-CSTX盈亏CSTX期权交易的盈亏分析（续）看跌期权买方的盈亏计算（用P表示期权费）：()SX()SX(=XPSP执行期权放弃执行期权）盈亏盈亏-PSTX盈亏CSTX看跌期权买方收益率曲线看跌期权卖方收益率曲线本章的一些符号规定S(t)：标的物目前的市场价格S(T)：期权到期日标的物的市场价格C/c：美式/欧式买权P/p：美式/欧式卖权X：期权合约的执行价（预订价）二、期权定价的基本无套利关系期权价格（期权费）遵守以下无套利关系：买权的价值从不高于标的物本身的价值（即：c(t)≤S(t)），卖权的价值从不高于预订价（即：P(t)≥X）(Why?)。欧式卖权的价值从不高于预订价用无风险利率折现的现值。（Why?）期权的价值决不为负。美式期权的价值决不低于欧式期权。距失效日时间长的美式期权的价值决不低于距失效日时间短的同一个美式期权的价值。美式期权的价值决不低于现在马上就执行该期权所实现的价值。（Why?）即：()max((),0)()max((),0)CtStXPtXSt欧式期权和美式期权定价的关系假设在标的物股票在期权的有效期内不分红，先来看欧式期权:记v(T-t)为以无风险利率rf的折现率，从时刻T折到时刻t的折现因子。则只要rf0，v(T-t)1。我们的结论是：c(t)≥max(S(t)-Xv(T-t),0)证明：因为期权的价值不会为负（c(t)≥0），所以只要证明c(t)≥S(t)-Xv(T-t)。欧式期权和美式期权定价的关系（续）反证法，假设c(t)S(t)-Xv(T-t)，则可以按下表进行无风险套利。由于Max{S(T)-X,0}-[S(T)-X]≥0，S(t)-c(t)-Xv(T-t)0，因此就出现了无风险套利的机会。由此反证上述不等式关系成立。又由前面的无套利基本关系1）知，必定有：max(S(t)-Xv(T-t),0)≤c(t)≤S(t)，这里可以发现，当T→∞时，Xv(T-t)→0，此时c(t)=S(t)。即：距到期日很远的欧式期权的价值几乎与不分红的标的物股票的价值一样。交易即时现金流（时刻t)到期现金流（时刻T)卖空一股股票S(t)-S(T)购买一份欧式买权-c(t)Max{S(T)-X,0}购买无风险证券-Xv(T-t)X净现金流S(t)-c(t)--Xv(T-t)Max{S(T)-X,0}-[S(T)-X]欧式期权和美式期权定价的关系（续）现在看美式买权。美式买权可以提前执行，当然不妨碍它到期再执行。因此美式买权的价值不应小于欧式买权，即：C(t)≥max{S(t)-Xv(T-t),0}。但是如果我们提前执行美式买权，在时刻t实现的价值是max{S(t)-X,0}，显然这是不划算的，因为实现的价值不到期权应有的价值。于是得出结论：既然不能提前执行，那就和欧式买权没有区别，因此有：C(t)=c(t)不分红股票的美式买权不可能提前执行。欧式期权和美式期权定价的关系（续）对于欧式卖权而言，有p(t)≥max{Xv(T-t)-S(t),0}。证明：跟买权的证明方法一样。反证法。假设p(t)Xv(T-t)-S(t)，则按下表操作可获得无风险套利。这样，由于Xv(T-t)-S(t)-p(t)0，Max{X-S(T),0}-[X-S(T)]≥0，因此出现了无风险套利机会。由此证明p(t)≥max{Xv(T-t)-S(t),0}交易即时现金流（时刻t)到期现金流（时刻T)购买一股股票-S(t)S(T)购买一份欧式卖权-p(t)Max{X-S(T),0}卖空无风险证券Xv(T-t)-X净现金流Xv(T-t)-S(t)-p(t)Max{X-S(T),0}-[X-S(T)]欧式期权和美式期权定价的关系（续）但对于美式卖权来说，情况不像买权那么简单，首先，P(t)≥p(t)一定成立，所以P(t)≥max{Xv(T-t)-S(t),0}。如果提前执行美式卖权的话，在时刻t，执行美式卖权实现的价值是max{X-S(t),0}，如果卖权处于实值状态，由前面的无套利基本关系1）知，又一定有p(t)≤X和P(t)≤X，此时如果股票价格S(t)很低的话，就有可能出现p(t)X-S(t)和P(t)X-S(t)的情况。但美式卖权可以立即提前执行，所以理性的持有者不会让P(t)X-S(t)的情况出现。所以美式卖权的价值决不会低于其内涵价值。欧式买权则不然，这说明欧式卖权在这种情况下实际上具有负的时间价值。归结起来：C(t)=c(t)P(t)≥p(t)三、买权和卖权的平价关系不分红股票的欧式期权有如下的买权和卖权平价关系：S(t)=c(t)-p(t)+Xv(T-t)(理解），当然也可以用无套利分析方法来证明这一平价关系。反证法：假设S(t)c(t)-p(t)+Xv(T-t),此时可以按下表进行无风险套利：即：若S(t)c(t)-p(t)+Xv(T-t),就会出现无风险套利，套利者可获得-S(t)+c(t)-p(t)+Xv(T-t)无风险利润。若S(t)c(t)-p(t)+Xv(T-t),可反向构筑头寸获得无风险套利。交易即时现金流到期时现金流(时刻T)S(t)XS(t)≥X购买一股股票-S(t)S(T)S(T)卖空一份欧式买权c(t)0-[S(T)-X]购买一份欧式卖权-p(t)X-S(T)0卖空无风险证券Xv(T-t)-X-X净现金流-S(t)+c(t)-p(t)+Xv(T-t)00买权和卖权的平价关系（续）不分红股票的美式买权和卖权的关系：由于C(t)=c(t)，P(t)≥p(t)，所以S(t)≥C(t)-P(t)+Xv(T-t)。但根据下表我们可推出更深层次的关系：其中t≤≤T，当S()X时，显然；当时，由于，所以交易即时现金流（时刻t）执行卖权是现金流（时刻）S()XS()≥X卖空一股股票S(t)-S()-S()购买一份美式买权-C(t)C()C()卖空一份美式卖权P(t)-[X-S()]0购买无风险证券-X净现金流S(t)-C(t)-P(t)-X-X+C()+C()-S()_t_t_t_t_t_t_t_t_t_1ttXv_1ttXv_1ttXv_t_1ttXv_t_t_t_t__1()0ttXvXCt_()StX____()()(){max((),0}()TtTtCtStXvStXv____-1-1()()()0TtttttXvCtStXvXv买权和卖权的平价关系（续）由上面可以看出，无论是否提前执行美式卖权，未来的净现金流都不为负，所以现在的净现金流不能为正（否则会出现无风险套利机会）。于是:S(t)-X≤C(t)-P(t)，这样就有：S(t)-X≤C(t)-P(t)≤S(t)-Xv(T-t)以上就是不分红股票的美式买权和卖权的无套利均衡限定关系。买权和卖权的平价关系（续）以下我们分析标的物股票分红对期权价格的影响，假定股票在到期日前分发已知数额的红利。则首先：C(t)≥c(t)≥S(t)-PV(D)-Xv(T-t)P(t)≥p(t)≥Xv(T-t)-S(t)+PV(D)（解释）对于到期日前已有红利支付的欧式期权来说：S(t)=c(t)-p(t)+Xv(T-t)+PV(D)（意义）买权和卖权的平价关系（续）对于美式期权来说，则：S(t)-PV(D)-X≤C(t)-P(t)≤S(t)-Xv(T-t)证明：第二个不等号一定成立。因为股票除红以后，一定会引起股价下跌，从而使买权的价值(C(t))下降而卖权的价值(P(t))上升，因此不等号更加能够成立。对第一个不等式，可采用反证法。假设C(t)-P(t)S(t)-PV(D)-X，则按下表构筑头寸可获得无风险套利。买权和卖权的平价关系（续）这里是分发红利的时刻。当时，。则由上表的分析可以发现在执行卖权的时刻无论还是，净现金流都大于零(Why?)，这样就会出现无风险套利机会。因此假设不成立，第一个不等式便得以证明。交易即时现金流(时刻t)执行卖权时现金流（时刻())S()XS()≥X卖空一股股票S(t)-S()-S()红利的影响卖空一份欧式买权-c(t)c()c()卖空一份美式卖权P(t)-[X-S()]0购买无风险证券-X净现金流_t_t_t_t_t_t_t_()()TtPVD__()()TtPVD__()()TtPVD_1ttXv_1ttXv_()()()()()TtStPVDXctPt____1()()()ttTtXvXctPVD_____1()()()()ttTtXvctStPVD_t_T__tT__()()0TtPVD_()StX_()StX买权和卖权的平价关系（续）虽然不分红股票的美式买权不会提前执行，但对于支付红利的股票的美式买权而言，由于每次除红后股票价格会下跌，跌幅的均衡值