2012年中考数学复习方案(苏科版)第16课时 二次函数与一元二次方程

│二次函数与一元二次方程·江苏科技版│考点聚焦考点聚焦·江苏科技版考点1二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有着密切的关系，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应的一元二次方程的实数根，抛物线与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程的根的判别式b2－4ac的符号判定．(1)有两个交点⇔____________⇔方程有_____________的实数根．(2)有一个交点⇔____________⇔方程有_____________的实数根．(3)没有交点⇔______________⇔方程________实数根．[点拨]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根．借助二次函数的图象，我们可以求得相应一元二次方程的近似解．b2－4ac0两个不相等b2－4ac＝0两个相等b2－4ac0无│考点聚焦·江苏科技版考点2二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a、b、c及判别式b2－4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0与x轴有惟一交点（顶点）b2－4ac0与x轴有两个不同交点b2－4ac0与x轴没有交点│考点聚焦·江苏科技版[注意]当x＝1时，y＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝a－b＋c；若a＋b＋c0，即x＝1时，y0；若a－b＋c0，即x＝－1时，y0.(1)c的大小决定抛物线与y轴的交点位置，c＝0时，抛物线过原点，c0时，抛物线与y轴交于正半轴，c0时，抛物线与y轴交于负半轴．(2)ab的符号决定抛物线的对称轴的位置．当ab＝0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴的右侧．│考点聚焦·江苏科技版考点3二次函数图象的平移将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成__________________的形式，而任意抛物线y＝a(x－h)2＋k(a≠0)均可由y＝ax2(a≠0)平移得到，具体平移方法如下：图16－1[注意]确定抛物线平移后的关系式最好利用顶点式，利用顶点的平移来研究图形的平移，但要注意平移前后a值不变．y＝a(x－h)2＋k(a≠0)·江苏科技版归类示例│归类示例►类型之一二次函数的解析式的求法命题角度：1．一般式、顶点式、两根式2．用待定系数法求二次函数的解析式例1已知抛物线经过点A(－5,0)，B(1,0)，且顶点的纵坐标为92，求二次函数的解析式．[解析]根据题目要求，本题可选用多种方法求解析式．解：解法1：由抛物线过点A(－5,0)，B(1,0)得，抛物线的顶点坐标为(－2，92)，可设顶点式，设y＝a(x＋2)2＋92，把x＝1，y＝0代入得，·江苏科技版0＝a(1＋2)2＋92，∴a＝－12.∴y＝－12(x＋2)2＋92，即y＝－12x2－2x＋52.解法2：∵A(－5,0)，B(1,0)是抛物线与x轴的交点，设两根式y＝a(x＋5)(x－1)，把x＝－2，y＝92代入得a(－2－1)(－2＋5)＝92.∴a＝－12.∴y＝－12(x＋5)(x－1)，即y＝－12x2－2x＋52.·江苏科技版(1)当已知抛物线上三点求二次函数的解析式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)当已知抛物线顶点坐标(或对称轴或最大最小值)求解析式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；(3)当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的解析式时，一般采用两根式y＝a(x－x1)(x－x2)．·江苏科技版►类型之二二次函数的图象与系数符号的关系命题角度：1．二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点情况与a、b、c的关系2．图象上的特殊点与a、b、c的关系例2[2011·宿迁]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图16－2，则下列结论中正确的是()A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根图16－2D·江苏科技版[解析]由抛物线开口向下，易知a＜0；由抛物线与y轴交于正半轴，可知c＞0；由二次函数的增减性(函数的单调性)，抛物线开口向下，在对称轴的右侧(即当x＞1时)，y随x的增大而减小；因此选项A、B、C全错，故D正确．另外，易由图象知道，抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，故3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．·江苏科技版(1)由抛物线在直角坐标系中的位置，容易确定a、b、c的符号：抛物线开口方向决定了a的符号，当开口向上时，a＞0，否则a＜0；由抛物线与y轴的交点位置易知c的符号：交于y轴的正半轴，则c＞0；交于y轴的负半轴，则c＜0；过原点，则c＝0.顶点坐标可以确定b的符号．(2)由数形结合思想，易判定函数的单调性．(3)抛物线是轴对称图形，知道对称轴及抛物线与x轴的一个交点坐标，很容易知道它与x轴的另一个交点的坐标，从而可轻松地判定相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根的情况．·江苏科技版例3[2011·北京]在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m＞0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当∠ABC＝45°时，求m的值；(3)已知一次函数y＝kx＋b，点P(n,0)是x轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m＞0)的图象于点N.若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．·江苏科技版[解析](1)令y＝0，解得x1＝－1，x2＝3m，由于m0，∴A的坐标为(－1,0)；(2)当∠ABC＝45°时，△BCO构成等腰直角三角形，从而求得B点坐标，将点C坐标代入解析式求得m的值；(3)只有当－2n2时，点M位于点N的上方，把x＝－2和x＝2分别代入解析式，求得y值从而得到两个点的坐标，由这两个点的坐标可以得到这个一次函数的解析式．解：(1)∵点A、B是二次函数y＝mx2＋(m－3)x－3(m0)的图象与x轴的交点，∴令y＝0，即mx2＋(m－3)x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3m.又∵点A在点B左侧且m0，∴点A的坐标为(－1,0)．·江苏科技版(2)由(1)可知点B的坐标为3m，0，∵二次函数的图象与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，－3)．∵∠ABC＝45°，∴3m＝3，∴m＝1.(3)由(2)得，二次函数解析式为y＝x2－2x－3，依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2,5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y＝kx＋b中，得－2k＋b＝5，2k＋b＝－3，解得k＝－2，b＝1.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋1.·江苏科技版求函数与x轴的交点坐标令y＝0；求函数与y轴的交点坐标令x＝0，根据题意画出符合题意的图形，是解决问题的关键．·江苏科技版►类型之三二次函数图象的平移命题角度：1．二次函数图象的平移规律2．利用平移求二次函数的解析式例4[2010·兰州]抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2－2x－3，则b、c的值为()A．b＝2，c＝2B．b＝2，c＝0C．b＝－2，c＝－1D．b＝－3，c＝2B·江苏科技版解析]先把y＝x2－2x－3配方为y＝(x－1)2－4，逆向思考，把y＝(x－1)2－4向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到的解析式为y＝(x－1＋2)2－4＋3＝(x＋1)2－1，化为一般式是y＝x2＋2x，故选择B.二次函数的平移先把y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，再根据左加右减、上加下减的平移规律得到平移后图象的函数关系式．·江苏科技版例5[2011·绵阳改编]已知：抛物线y＝x2－2x＋m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图16－3，设它的顶点为B.(1)求m的值；(2)过点A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，求抛物线C′的解析式和直线EF的解析式．图16－3·江苏科技版解：(1)抛物线与x轴只有一个交点，说明Δ＝0，故m＝2.(2)∵抛物线的解析式是y＝x2－2x＋1，点A(0,1)，点B(1,0)，∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB，∴∠BAC＝∠OBA＝45°，∵点A、C是对称点，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形．(3)抛物线y＝x2－2x＋1向下平移4个单位后的解析式为y＝x2－2x－3，可知点E(－1,0)，F(0，－3)，∴直线EF的解析式为y＝－3x－3.