2.1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷-式中(精)

2．1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为0cosss的电荷，式中的0s为常数。试求球面上的总电荷量。解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为rds，对应的弧长为dlad，因此，2sin2sinrdsadlaad。2000coscos2sin0sssssqdsdsad2.14题，在下列条件下，对给定点求divE的值：（1）222[(2)(2)]/xyzxyzyxzxyxyVmeeeE，求点1(2,3,1)P处divE的值。（2）22222[2sinsin22sin]/zzzzVmeeeE，求点2(2,110,1)Pz处divE的值。解：zyxordsr（1）222(2)(2)()2223(1)2210divxyzyxzxyxyyzxxyzE（2）222222222211[(2sin)](sin2)(2sin)4sin2cos22sin9.06divzzzzzzE2.15题，半径为a的球中充满密度为ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为：2542(),(0)(),()rrrrArraDaAarar3reD=e=e其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。解：利用高斯定理的微分形式，即D=得221()rrDrrD=在r≤a区域中：2221[()]54rrArrArrr32D=在r≥a区域中：542221[()]0aAarrrrD=2．20，在半径a＝1mm的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z轴方向通过电流I＝20A，试求：（1）0.8mm处的B；（2）1.2mm处的B；（3）圆柱内单位长度的总磁通。解：（1）圆柱形导体内的电流密度为26223220/6.3710/(110)zzzIAmAmaJeee利用安培环路定律得202BJ30.8013.2102mmJTBee（2）利用安培环路定律得301.23.33102mmITBee（3）圆柱内单位长度的总磁通为20006110222210aadJdJWbBS2．22通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图题2.22所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。解：因空腔中电流密度为零，可视为同时存在J和－J的电流密度，这样，可将原来的电流分布视为如下两个电流分布的叠加：一个电流密度为J，均匀分布在半径为b的圆柱内；另一个电流密度为－J，均匀分布在半径为a的圆柱内。空间的场，便是它们共同产生的。ybacJbrarboaoPx由安培环路定律0cdIBl，可得到电流密度为J、均匀分布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为：000222031b2122b2zbbbbzrzbbbJrrIIrrJbrrerBeeeer半径为a、电流密度为－J的圆柱的磁场为：000222031a2122a2zaaaazrzaaaJrrIIrrJbrrerBeeeer其中，ab、rr分别是点ao和bo到场点P的位置矢量。将上面两式叠加，可得空间各区域的场：圆柱外：220331()2zbabaJrrBerr圆柱内的空腔外：20311()2zbaaJrrBerr空腔内：001111()22zbazJJrrccBerre可见，空腔内是均匀场。2．24有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场5cosztmTBe之中，如图所示。滑片的位置由0.35(1cos)tmx确定，轨道终端接有电阻0.2R，求电流i。解：穿过导体回路abcda的磁通为5cos0.2(0.7)cos[0.70.35(1cos)]0.35cos(1cos)zzdBadabtxttttBSee因此，感应电流为110.35sin(1cos)1.75sin(12cos)indittRRdtRttmA2．26求下列情况下的位移电流密度的大小（1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度80.15cos(9.36103.12)/xtyAmHe（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度260.8cos(3.77101.2610)ytxTBe（3）一大功率变压器在填充的油中产生的电场强度260.9cos(3.77102.8110)/xtzMVmEe设油的相对介电常数5r（4）工频（f=50Hz）下的金属导体中，20.1sin(377117.1)/xtzMAmJexyaiRBd0.7mcb0.2m设金属导体的700,,5.810/sm。解：（1）在真空中，传导电流为0，因此由tDH，得到位移电流为：828200[0.15cos(9.36103.12)]/0.468sin(9.36103.12)/xyzxdzxzzHtxyzyHtyAmytyAmeeeDJHeee故20.468/dAmJ（2）由0,tDHBH，得到位移电流为：000260262111001[0.8cos(3.77101.2610)]0.802sin(3.77101.2610)/xyzydzyzzBtxyzxBtxxtxAmeeeDJBeee故20.802/dAmJ（3）6260126265[0.910cos(3.77102.8110)]58.85100.910cos(3.77102.8110)roxxtztzDE=ee32621510sin(3.77102.8110)/dxtzAmtDJe故321510/dAmJ（4）672110sin(377117.1)5.8101.7210sin(377117.1)/xxtztzVmJE=ee1228.85101.7210sin(377117.1)xtzDE=e14212215.2610377cos(3.7710117.1)57.5310cos(3.7710117.1)/dxxtzttzAmDJee故12257.5310/dAmJ2．27同轴线的内导体半径a=1mm，外导体的内半径b=4mm，内外导体间为空气，如图所示。假设内、外导体间的电场强度为8100cos(10)/tkzVmEe。（1）求与E相伴的H；（2）确定k的值；（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线01zm区域内的位移电流。解：（1）由麦克斯韦方程组得到0tHE，因此ab008011100sin(10)EtzktkzHEee将上式对时间t积分，得到880100cos(10)10ktkzHe（2）为确定k值，将上述H代入0tEH得到0028800111[()]100sin(10)10HtzktkzEHee将上式对时间t积分，得到281600100cos(10)10ktkzEe将其与题中的E比较，得到2160010k因此：1/3kradm同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示为：81001cos(10)/3tzVmEe81001cos(10)/1203tzAmHe（3）将内导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出内导体表面的电流密度881001cos(10)12031265.3cos(10)/3naztztzAmsJeHeee位移电流密度为：8002821001[cos(10)]38.85101sin(10)/3dtztttzAmEJee（4）在01zm区域内的位移电流为：112800281081228.8510sin(10)3128.85103[cos(10)]310.55sin(10)6dddsiddztzdztztAJSJe==2．30煤质1的电参数为101014,2,0；煤质2的电参数为101012,3,0。两种煤质分解面上的法向单位矢量为0.640.60.48nxyzeeee，由煤质2指向煤质1。若已知煤质1内邻近分解面上的点P处的磁感应强度1(23)sin300TxyztBeee，求P点处下列量的大小：1122,,,ntntBBBB。解：1B在分界面法线方向的分量为：11(23)(0.640.60.48)2nnxyzxyzBTBeeeeeee221113.16tnBBBT利用磁场边界条件，得到212nnBBT利用磁场边界条件，得到221133.164.742ttBBT2．31煤质1的电参数为101015,3,0；煤质2可视为理想导体（2）。设y=0为理想导体表面，y0的区域（煤质1）内的电场强度为820cos(2102.58)/ytzVmEe，试计算t=6ns时：（1）点P（2，0，0.3）处的面电荷密度s；（2）点P处的H；（3）点P处的面电流密度sJ。解：（1）80,0.3092205cos(2102.58)80.610/nyzyytzCmseDee（2）由tHE，得到8080111()[20cos(2102.58)]31202.58sin(2102.58)3yxxxEtztzztzHEeee对时间t积分，得到8088031202.58sin(2102.58)3202.58cos(2102.58)321062.310/xxxtzdttzAmHeee（3）300()62.310/nyyxxyzHAmsJeHeee