经典数学归纳法类型题

1经典数学归纳法题型一、归项放缩法由下列不等式：,215131211,237131211,131211,211你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明。有何变式？二、糖水原理放缩法试比较1nn与nn)1(的大小，用数学归纳法证明之！试想还有其他什么方法？三、整除问题类型略四、形式比较类型已知数列}{na中，12nan，求证：12332)11()11)(11(21naaan。五、几何类型题空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成na个部分。（1）求;,,,4321aaaa（2）写出na关于n的表达式并用数学归纳法证明六、三角函数类型题已知函数),0(sin)(0xxxxf设)(xfn为)(1xfn的导数，（1）求)2(2)(221fxf的值；（2）证明：对于任何的n，等式22|)4(4)4(|1nnfnf都成立。七、导函数思想类型题设)(xfn是等比数列nxxx,,,,12的各项和，其中.2,,0nNnx（1）证明：函数2)()(xfxFnn在)1,21(内有且仅有一个零点（记为nx），且12121nnnxx；（2）设有一个与上述等比数列首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为)(xgn，比较)(xfn和)(xgn的大小。2八、构造类型题已知函数)(xf满足：①对任意实数yx,都有)()(1)(yfxfyxf，且0)21(f；②当21x时，0)(xf.（1）求证：)2(2121)(xfxf；（2）用数学归纳法证明：当]21,21[1nnx时，nxf211)(九、数列通项归纳类型题设正数数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝12an＋1an，试推测出an的表达式，并用数学归纳法加以证明．十、数列比较大小的类型题1.已知数列{an}满足an＋1＝－a2n＋pan(p∈R)，且a1∈(0,2)，试猜想p的最小值，使得an∈(0,2)对n∈N*恒成立，并给出证明．2.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝c－1an.(1)设c＝52，bn＝1an－2，求数列{bn}的通项公式；(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．解(1)an＋1－2＝52－1an－2＝an－22an，1an＋1－2＝2anan－2＝4an－2＋2，即bn＋1＝4bn＋2.bn＋1＋23＝4bn＋23，又a1＝1，故b1＝1a1－2＝－1，所以bn＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，bn＋23＝－13×4n－1，bn＝－4n－13－23.3(2)a1＝1，a2＝c－1，由a2＞a1，得c＞2.用数学归纳法证明：当c＞2时，an＜an＋1.①当n＝1时，a2＝c－1a1＞a1，命题成立；②设当n＝k时，ak＜ak＋1，则当n＝k＋1时，ak＋2＝c－1ak＋1＞c－1ak＝ak＋1.故由①②知当c＞2时，an＜an＋1.当c＞2时，因为c＝an＋1＋1an＞an＋1an，所以a2n－can＋1＜0有解，所以c－c2－42＜an＜c＋c2－42，令α＝c＋c2－42，当2＜c≤103时，an＜α≤3.当c＞103时，α＞3，且1≤an＜α，于是α－an＋1＝1anα(α－an)＜13(α－an)＜132(α－an－1)＜…＜13n(α－1)．所以α－an＋1＜13n(α－1)，当n＞log3α－1α－3时，α－an＋1＜α－3，an＋1＞3，与已知矛盾．因此c＞103不符合要求．所以c的取值范围是2，103.