第3讲-计算机图形学基础-图形变换

华中科技大学CAD中心3.1．二维图形变换3.1.1二维图形基本变换3.1.2图形齐次变换3.1.3二维图形变换汇总3.2．三维图形变换3.2.1三维图形基本变换3.2.2三维图形组合变换3.3．坐标变换3.4、三维投影变换3.5、图形显示流程（选学）3.5.1二维观察变换及图形显示流程3.5.2三维观察变换及图形显示流程第3讲计算机图形学基础——图形变换华中科技大学CAD中心1．掌握CAD系统中图形变换的原理2．了解CAD系统中图形的显示流程本章目的思考问题：1）在CAD软件中图形的平移、旋转是如何实现的??2）如何实现零件形体从数学定义到屏幕显示？？华中科技大学CAD中心3.1二维图形变换在工程绘图CAD系统中，二维图形变换是最常用的功能。二维图形变换可通过矩阵乘法运算来实现，令矩阵：dcbaT则有：dybxcyaxdcbayxyx''这里[x’,y’]为变换后点的坐标，[x,y]为变换前点的坐标，T为变换矩阵，矩阵中a,b,c,d取值不同，可实现各种不同变换。二维图形的基本几何变换包括：比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换等txtyxyo(x,y)(x',y')txtyxyo(x,y)(x',y')xyo(x,y)θ(x',y')xyo(x,y)θ(x',y')xyoxyoxyoxyoxyoxyoxyoxyoxyoxyoxyo华中科技大学CAD中心二维比例变换在变换矩阵中，令b=c=0，则比例变换为：dcbaT0dad00aTs,式中a，d分别为x，y方向上的比例因子二维对称变换1）对y轴对称:1001-Tmy2）对X轴对称:1-001Tmx1-001-Tmo3）对坐标原点对称:3.1.1二维图形基本变换华中科技大学CAD中心由式可知：二维旋转变换在二维空间里，我们规定：图形的旋转是指绕坐标系原点旋转θ角，且逆时针为正，顺时针为负，变换矩阵为：cossinsincosTrxsinycossinRcoscosRsinRsinyysinxcossinRsincosRcosRcosx''rTyxyx''对右图字母T绕坐标原点进行旋转变换（旋转60°)，则变换后的坐标为：旋转变换举例华中科技大学CAD中心二维平移变换但是，若实现平移变换，变换前后的坐标必须满足下面的关系：dcbaT上述四种变换都可以通过2X2变换矩阵来实现，yyyxxx''式中△x，△y是平移量，为常数，应用前述变换矩阵对点进行变换：dybxcyaxdcbayxyx''上式中的cy，bx均非常量，因此用原来的2×2矩阵无法实现平移变换。解决方法：将变换矩阵增加一行一列，则可对点进行平移变换1mylx1ml0100011yx1yx思考：前面的变换能实现图形的平移吗??华中科技大学CAD中心平移变换将[xy]扩充为[xy1]实际上是由二维向量变为三维向量。这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标法。进一步推广，用n+1维向量表示n维向量的方法称之为齐次坐标法。所谓齐次坐标就是用n+1维向量表示n维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的变换矩阵称为齐次变换矩阵。齐次变换定义将Oxy坐标系增加w轴。在w=1的平面上有点P1(x,y,1),当w由0变化到无穷时，齐次坐标Pw(xw,yw,w)将处在由OP1定义的射线OQ上。二维坐标则是该射线在w＝1平面上的交点：齐次变换几何意义wyywxxww,二维齐次变换表示在w=1平面上点的变换，即P1到P1*的坐标变换。3.1.2二维图形齐次变换华中科技大学CAD中心二维齐次变换:二维齐次变换矩阵为：其中2×2阶矩阵可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换；1×2阶矩阵可以实现图形的平移变换；2×1阶矩阵可以实现图形的透视变换，而[s]可以实现图形的全比例变换。dcbamlTqpsmlqdcpba1yx1yx二维点的齐次变换：华中科技大学CAD中心3.1.3二维图形变换汇总表△△华中科技大学CAD中心华中科技大学CAD中心平移变换实例:二维组合变换：前面介绍的几种变换可用统一的变换矩阵来实现，称之基本变换。但有些变换仅用一次基本变换是不够的，必须由多次基本变换组合才能实现，称之为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为：P*=PT1T2…Tn=PT式中，T=T1T2…Tn为总的变换矩阵，组合变换的目的是将一个变换序列表示为一个变换矩阵。华中科技大学CAD中心绕任意点旋转变换:平面图形绕任意点C(x,y)旋转θ角需要通过组合变换实现，步骤如下：(1)将旋转中心平移到原点;(2)将图形绕坐标系原点旋转θ角;(3)将旋转中心平移回到原来位置。组合变换矩阵的顺序不能颠倒，顺序不同，则变换的结果亦不同，如右图。组合变换矩阵：于是：P′=PTcr华中科技大学CAD中心3.2三维图形变换三维几何形体可由一系列点集和这些点集之间的边连接关系来表达。当一个形体在坐标系中平移、旋转时，只是通过三维图形变换改变点集的坐标位置，而不改变各点边之间的任何连接关系。（注：CAD系统中，三维形体中边、面的方程都是由点集信息推导出来，不直接对边、面的方程进行变换，而是由变换后的新点生成）华中科技大学CAD中心三维几何变换是二维几何变换的扩展，用三维齐次变换矩阵(4×4矩阵)表示，可表示包括平移变换、比例变换、错切变换、对称变换、绕坐标轴的旋转变换、绕空间任意轴的旋转变换等。三维齐次变换矩阵如下：T＝T1zyx1'z'y'x缩放、旋转、错切平移整体缩放透视变换比例、对称变换矩阵三维齐次变换矩阵：1000000000000zyxssssTsx,sy,sz＞0，沿坐标轴方向作放缩变换；当sx=1,sy=sz=-1时，相对于x轴中心对称；当sx＝-1,sy=sz=1时，相对于yOz平面对称当sx=sy=sz=-1时，相对于原点中心对称。平移变换矩阵1010000100001zytttTxt式中tx、ty、tz为平移分量3.2.1三维图形基本变换华中科技大学CAD中心绕坐标轴的旋转变换：注：上述三矩阵均为正交矩阵。正交矩阵有如下性质：M-1=MT。华中科技大学CAD中心三维组合变换：与二维组合变换一样，三维组合变换可以实现对三维物体的复杂变换。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为：P*=PT1T2…Tn=PT绕任意轴旋转变换：通过7个基本变换的组合变换才能实现。首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合；然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转；最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。3.2.2三维图形组合变换矩阵变换与逆矩阵：单个变换（或上面的组合变换），其逆矩阵（或称逆变换）可通过改变变换参数的方式获得，即：如果M=T（t）T（），那么M-1=T（-）T（-t）。华中科技大学CAD中心如右图，设旋转任意轴为p1（x1,y1,z1）,p2（x2,y2,z2）两点定义的单位矢量(a,b,c)，绕轴旋转角度为。xzyoP1(x1,y1,z1)P2(x2,y2,z2)QQ′xzyo可用以下7个步骤实现：步骤1：平移T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合10100001000011111zyx变化矩阵为：华中科技大学CAD中心其中：步骤3：Ry(－β)，绕Y轴旋转（－）角，使p1p2与z轴重合；1000000010003)cos()sin()sin()cos(av/asin,uv/ucos,cbav1222xzyuavo变化矩阵为：10000cossin00sincos000012aaaa变化矩阵为：ubucbcu/sin,/cos,22其中：步骤2：Rx()，绕X轴旋转角，使得轴p1p2落入平面xoz内xzybacou华中科技大学CAD中心步骤4：Rz(θ)，绕Z轴（即P1P2轴）旋转θ角度；步骤5：Ry(β)，作步骤3的逆变换T3-1；步骤6：Rx(－α)，作步骤2的逆变换T2-1；步骤7：T(x1,y1,z1)，作步骤1的逆变换T1-1。1000010000cossin00sincos4其组合变换矩阵为：T＝T1T2T3T4T3-1T2-1T1-1思考：实现图形绕轴旋转7步骤是必须的吗??华中科技大学CAD中心三维形体几何变换示例-1假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，则经过图形变换后的坐标为：Tzyxzzyyxxzyxzzyyxx111111888212121888212121式中：T为所要进行的图形变换矩阵CAD中图形变换广泛用于形体定义、编辑。如对称、阵列特征等华中科技大学CAD中心三维形体几何变换示例-2如右图所示边长为5的立方体绕轴线l旋转（－90°)，求图形旋转变换后A、B、C、D点的坐标值。分析：此例为绕任意轴旋转的简化实例，不需标准的7步解题步骤：步1）：沿x轴平移图形使l轴经过原点并与yoz平面重合步2）：绕x轴旋转（45°)使l轴与y轴（或z轴）重合步3）：图形绕y轴（或z轴）旋转（－90°)步4）：作步2）的逆变换步5）：作步1）的逆变换（注：仅需要5步，课后自己完成）xyzABCDlo华中科技大学CAD中心世界坐标系(WorldCoordinateSystems)局部坐标系（LCS），也称模型坐标系观察坐标系(Viewingcoordinatesystems)屏幕坐标系（SCS），也称设备坐标系3.3坐标变换在CG和CAD软件系统中，涉及许多坐标系和坐标变换。WCS-LCS-VCS-SCS四个坐标系间的关系华中科技大学CAD中心方便于物体模型定义的坐标系，又称模型坐标系。因为物体模型在某一任意坐标系下定义可能是非常困难，如立方体斜放在某任意坐标系中（如图a），顶点坐标很难确定；最好将立方体放在某坐标系中使角点重合坐标原点，三条边平行于坐标轴(如图b)。图(a)图(b)局部坐标系（LCS）世界坐标系（也有称用户坐标系）是用户用于定义所有物体的统一参考坐标系，它在计算过程中始终保持唯一性，无论物体在何位置，在什么模型坐标系，一般应变换到统一的世界坐标系（即统一的参照坐标系），然后进行其它计算，避免坐标系的混乱，引起不必要的错误。世界坐标系（WCS）华中科技大学CAD中心观察坐标系（VCS）实际中，可以物体不动照相机动(移动和转动)，也可相机不动物体动。通常取物体所在的坐标系为世界坐标系(WCS)，投影平面与投影中心也在世界坐标系中指定。通常可以依赖于投影平面（为照相机底片）建立一个uvn坐标系，称之为观察坐标系（VCS）。观察坐标系（也称视点坐标系，视见坐标系）常采用右手直角坐标系（如图）（也可左手坐标系），这样可使观察坐标系与世界坐标系之间的变换更方便处理。zxynvuWCSVCSOO’华中科技大学CAD中心坐标变换的实现假定有两个坐标系为世界坐标系Oxyz和观察坐标系O’uvn，如右图所示。zxynvuWCSVCSOO’在坐标系Oxyz中，设观察坐标系O’uvn的原点O’坐标为（O’x，O’y，O’z）,其坐标轴O’u、O’v和O’n分别为三个单位矢量（ux,uy,uz）、（