2014电动力学课程总结

第一章矢量分析1．关于散度和旋度的定理1-1.标量场的梯度必为无旋场：0ϕ∇×∇≡。证：令fϕ=∇，有()()0yxxxfffyzyzzyϕϕϕ∂⎛⎞∂∂∂∂∂⎛⎞∇×∇=∇×=−=−=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠1-2.矢量场的旋度必为无源场：0f∇•∇≡。1-3.无旋场必可表示为标量场的梯度：若，则0f∇×=fϕ=∇。1-4.无源场必可表示为另一矢量的旋度：若，则0f∇•=fA=∇×。2.算符运算公式∇()ϕφϕφφ∇=∇+∇ϕ()()fffϕϕϕ∇•=∇•+∇•()()fffϕϕϕ∇×=∇×+∇×2ϕϕ∇•∇=∇3．积分变换式3-1．高斯公式()SVfdsfdv•=∇•∫∫式中为区域V的界面。S3-2．斯托克斯公式()LSfdlfds•=∇ו∫∫式中L为的边界线。S4．算符在坐标系中的表示14-1柱坐标1rzeerrzφeϕϕϕϕφ∂∂∂∇=++∂∂∂()11zrfffrfrrrzφφ∂∂∂∇•=++∂∂∂()11zrzrzffff1rffeerfrzzrrrrφφφφφ∂⎛⎞e⎡⎤∂∂∂∂⎛⎞∇×=−+−+−⎜⎟⎜⎟∂⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎣⎦⎝⎠第二章电磁现象的普遍规律1）麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。1-1)在介质中微分形式为Dρ∇•=来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。0B∇•=来自毕—萨定律，说明磁场是无源场。BEt∂∇×=−∂来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场Bt∂∂能产生电场。DHJt∂∇×=+∂来自位移电流假说，说明变化的电场Dt∂∂能产生磁场。1-2)在介质中积分形式为LSdEdlBdSdt=−∫∫ii,fLSdHdlIDdSdt•=+•∫∫,fSDdlQ=∫i,0SBdl=∫i。2）电位移矢量和磁场强度DH并不是明确的物理量，电场强E度和磁感应强度B，两者在实验上都能被测定。和DH不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规律。3）电荷守恒定律的微分形式为0Jtρ∂∇+=∂i。4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为()210neEE×−=，()21neHHα×−=，2()21neDDσ•−=，()210neBB•−=具体写出是标量关系21ttEE=，21ttHHα−=，21nnDDσ−=，21nnBB=矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为fσ±，求电场和束缚电荷分布。解：在介质1ε和下极板fσ+界面上，根据边值关系1fDDσ+−=和极板内电场为0，得0D+=1fDσ=。同理得2fDσ=。由于是线性介质，有DEε=，得1111fDEσεε==，2222fDEσεε==。在两个介质表面上，由于没有自由电荷，由()021nnpEEfεσσ−=+得()0002121pfEEεεσεσεε⎛⎞=−=−⎜⎟⎝⎠介质1和下表面分界处，有00111pffEεσσεσε⎛⎞′=−+=−−⎜⎟⎝⎠介质2和上表面分界处，有00221pffEεσσεσε⎛⎞′′=−=−⎜⎟⎝⎠5）在电磁场中,能流密度为SSEH=×,能量密度变化率wt∂∂为wDEHttBt∂∂∂=+∂∂∂ii。3在真空中,能流密度为S01SEμ=×B。能量密度为w2200112wEBεμ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠。6)在电路中，电磁场分布在导线和负载周围的空间。负载和导线上的消耗的功率完全是在电磁场中传输的，而不是由导线传送的。例（32页）同轴传输线内导线半径为，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质(如图所示)．导线载有电流aI，两导线间的电压为U。忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率。P解：以距对称轴为的半径作一圆周r()arb，应用安培定律得2rHIφπ=，有2IHrφπ=。设导线电荷线密度为τ，应用高斯定理得2rrEτπε=，有2rErτπε=。能流密度为224rzISEHEHeerφzτπε=×==。设导线间电压为ln2brabUEdraτπε==∫，有212lnzUISebraπ=。传输功率为baPSdsUI=•=∫。第二章静电场41）在静电场时，电场不变化导致磁场不变化，有0BDtt∂∂==∂∂。麦氏方程变为和0E∇×=Dρ∇•=。由于E的无旋性，就引入了电势ϕ，即Eϕ=−∇。这样，求解静电场问题就变为简单.。电场量满足（1）泊松方程2ρϕε∇=−；（2）边值关系；（3）边界条件（介质或导体）。2)对电荷分布不随时间变化的体密度ρ,在介质为ε的空间中,其电场总能量为()()18xxWdVdVrρρπε′′=∫∫。例题(41页)求均匀电场0E的势。解:选空间任意一点为原点，设该点的电势为0ϕ，则任意点处的电势为P()00000PPEdlϕϕϕ=−=−∫Exii由于0E可以看为无限大平行板电容产生，因此不能选()0ϕ∞=。选00ϕ=，则有()0PEϕ=−xi例题（46页）两同心导体求壳之间充满良种介质，左半球电容率为1ε，有半球电容率为2ε（如图）。设内球带电荷Q，外球壳接地，求电场分布。解：在两介质分界面上有边值关系21ttEE=，21nnDD=。内导体球壳电荷为Q，边界条件为121122SSSDdSEdSEdSQεε•=•+•=∫∫∫。设左半部电场为13AErr=，右半部电场为23AErr=。两个电场满足边值关系。带入边界条件，有5()122AQπεε+=。解得()122QAπεε=+。左半部电场为()13122QrErπεε=+，右半部电场为()23122QrErπεε=+。例题（54页）距接地无限大导体平行板处有一点电荷Q，求空间的电势。a解：空间zxae′=处有一点电荷Q，在上半平面()0Z≥内有泊松方程为()20Qxxδϕε′−∇=−。在导体表面上，电场与表面正交，边值关系为00tzE==。导体是等势体，边界条件为0zϕ==常数。用镜像法，假想在点()0,0,a−有一点电荷Q−。两个点电荷在空间产生的电势为()()()222222011,,4Qxyzxyzaxyzaϕπε⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥++−+++⎣⎦。经验证，电势满足泊松方程，边值关系，边界条件，根据唯一性定理，解是正确唯一的。3）求解静电场的方法大致有，分离变量法，镜像法，格林函数法。第三章静磁场1）由于磁场的无源性，可引入一个矢量0B∇=iA，使得BA=∇×。则A称为矢势。62）矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。即：。LSAdlBdS=∫∫ii3）阿哈罗诺夫—波姆效应（A—B效应）说明：能够完全恰当描述磁场的物理量是相因子。4）超导体最重要的两个宏观性质是超导电性和抗磁性。5）伦敦第一方程说明：在恒定电流下，超导体内的电流全部来自超导电子，没有电阻效应。6）伦敦第二方程说明：超导电流可视为分布于超导体表面。第四章电磁波的传播1）电磁场的波动方程推导过程如下：在0ρ=，0J=时，麦氏方程为：BEt∂∇×=−∂，DHt∂∇×=∂，0D∇•=，0B∇•=。于是有()2002EEBttμε∂∂∇×∇×=−∇×=−∂∂，()()22EEE∇×∇×=∇∇•−∇=−∇E。可得222210EEct∂∇−=∂，其中2001cμε=。同理得222210BBct∂∇−=∂。2）电容率ε和磁导率μ随电磁波频率而变的现象称为介质的色散。3）以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波。（单色波）4）在时谐电磁波时，麦克斯韦方程化为亥姆霍兹方程，220EkE∇+=，0E∇•=，kωμε=，iBEω=−∇×。75）平面电磁波的特征如下：（1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；（2）E和B互相垂直，EB×沿波矢方向；（3）kE和B同相，振幅比为。v6）对于高频电磁波，电磁场和高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。7）在金属导体中，电磁波的能量主要是磁场能量。例题（129页）证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振的TEM电磁波。解：取平面电磁波传播方向为zkke=，平面电磁波的E和H垂直传播方向，有0zzEH==。XOZ平面为切向平面，电场切向分量为0，边值关系要求0xE=。所以电场必须有0yE≠，否者无意义。0E≡边界条件要求0yEy∂=∂。因此，设yyEEe=，由平面电磁波性质EHk×∼，得xxHHe=−。8）谐振腔特征：对于[]10,xL∈，[]20,yL∈，[]30,zL∈的谐振腔，其内部可以传播的电场量为81cossinsinxxyzEAkxkyk=z，2sincossinyxyzEAkxkykz=，3sinsincoszxyzEAkxkyk=z。其中1xmkLπ=，2ynkLπ=，3zpkLπ=，(),,0,1,2mnp=。常数满足1230xyzkAkAkA++=。若有，则最低频率的谐振波模为12LLL≥≥3()1,1,0，其谐振频率为110212112fLLμε=+21)。9）在波导内传播的电磁波的特点为：电场和磁场不能同时为横波。10）对于矩形波导管(，在其内能传播的最大波长为。ab2a第五章电磁波的辐射1）在一般情况下，用势描述电磁场为BA=∇×和AEtϕ∂=−∇−∂。说明在变化场中，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。2）由于电磁场的规范不变性，一般采用两种规范，库伦规范和洛伦兹规范。3）库伦规范辅助条件为，洛伦兹规范辅助条件是0A∇•=210Actϕ∂∇•+=∂。4）在洛伦兹规范下，麦氏方程变为达朗贝尔方程220221AAJctμ∂∇•−=−∂，222201ctϕρϕε∂∇•−=−∂，210Actϕ∂⎛⎞∇•+=⎜⎟∂⎝⎠例题（157）求在洛伦兹规范下平面电磁波的势和场量。解：平面电磁波在空间传播，没有电荷和电流分布，有0Jρ==。所以达朗贝尔方程为222210AAct∂∇•−=∂，222210ctϕϕ∂∇•−=∂，210Actϕ∂⎛⎞∇•+=⎜⎟∂⎝⎠。方程平面波解为9()0ikxtAAeω•−=，()0ikxteωϕϕ•−=。根据洛伦兹规范，有200ckAϕω=•。取，有0kA•=BAikA=∇×=×，AEiAtϕω∂=−∇−=∂。5）一个简单的电偶极子辐射系统，辐射具有方向性。在赤道面上辐射最强，在两极没有辐射。6）一个简单的电偶极子辐射系统，振荡频率变高时，辐射功率迅速增大。7）对于短天线()lλ，其辐射电阻为2197rlRλ⎛⎞=Ω⎜⎟⎝⎠，说明它的辐射能力很小。8）对于半波天线，其辐射电阻为73.2rR=Ω，说明它的辐射能力相当强。第六章狭义相对论1）相对论的基本假设为：相对性原理和光速不变原理。2）在相对论理论中，时间和空间都不是绝对的。但是能联系时空的间隔是绝对的。3）洛伦兹变换。选Σ惯性系x轴和′Σ惯性系x′轴重合，′Σ惯性系相对惯性系的速度为。惯性系中一点坐标ΣvΣ(),,,xyzt在′Σ惯性系中一点坐标(),,,xyzt′′′′为221xvtxvc−′=−，yy′=，zz′=，2221vtxctvc−′=−例题（198页）如图，在时刻，0t=′Σ惯性系与Σ惯性系原点重合，此时在原点有光信号发出。设惯性系相对惯性系的速度为O′ΣΣ0.8vc=。在Σ惯性系中，时刻在点接收到光信号。求在惯性系中该点的时刻和位置。1t=sp′Σ10解：在惯性系中，点坐标为(。根据洛伦兹变换，在Σp),0,0,1c′Σ惯性系中该点的坐标为()22220.830.811xvtcccxxvccc−−′′====−−，yy′=，zz′=，()2222220.81130.811vctxccctvccc−−′==−−=即：该点坐标在惯性系中该点的坐标为′Σ1,0,0,33c⎛⎞⎜⎟⎝⎠。4）相对论指出，运动时钟将延缓，运动尺度将缩短。例题（204页）惯性系相对静止参考系′ΣΣ以速度v运动，在Σ系中同一位置发生两个事件，求在系中两个事件的时间间隔并且说明了什么。′Σ解：在系中同一位置发生两个事件，可设坐标为Σ()1,0,0,xt和()2,0,0,xt且。在2tt1′Σ系中，根据洛伦兹变换，有121221vtxctvc−′=−，222221vtxctvc−′=−。得212122