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1.回顾初中所学锐角的三角函数,在直角三角形ABC中,sinα,cosα,tanα分别叫做角α的正弦、余弦和正切,它们的值分别等于什么?ABCα2.当角α不是锐角时,我们必须对sinα,cosα,tanα的值进行推广,以适应任意角的需要.sinBCABa=cosACABa=tanBCACa=知识探究(一):任意角的三角函数思考1:为了研究方便,我们把锐角α放到直角坐标系中,并使角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终边上取一点P(a,b),设点P与原点的距离为,那么,sinα,cosα,tanα的值分别如何表示?r22()rabsinbrcosar思考2:对于确定的角α,上述三个比值是否随点P在角α的终边上的位置的改变而改变呢?为什么?xyoP(a,b)αrAB22()rabMcosOMaOPrsinPMbOPrtanPMbOMaab由相似三角形成等比可知,三个比值与点P的位置无关结论1:在直角坐标系中考察锐角三角函数,可以用终边上点的坐标(比值)表示锐角三角函数思考3:为了使sinα,cosα的表示式更简单,你认为点P的位置选在何处最好?此时,sinα,cosα分别等于什么?xyoP(a,b)αsinbcosatanba1取OP长为1,此时r=1此时我们发现当取OP长为1时,锐角的三角函数直接由此时点P的坐标表示思考4:在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆称为单位圆.对于任意角α的终边上一点P,要使|OP|=1,点P的位置如何确定?α的终边OxyP任意角三角函数定义一:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),由锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示,同样,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数:sinycosxtan(0)yxx结论2:此时任意角的三角函数可以利用终边与单位圆交点的坐标(比值)来表示α的终边P(x,y)Oxyxy思考6:对于一个任意给定的角α,按照上述定义,对应的sinα,cosα,tanα的值是否存在?是否惟一?α的终边P(x,y)Oxysinycosxtan(0)yxx研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定研究:当角的终边确定,则点P的坐标也就确定,那么上述三个值也就唯一确定任意角三角函数定义二:若点P(x,y)为任意角α终边上任意一点(不一定在单位圆上),那么sinα,cosα,tanα对应的函数值分别等于什么?P(x,y)Oxytanyxsinyrcosxrtanyx22()rOPxy知识探究(二):三角函数符号思考1:当角α在某个象限时,设其终边与单位圆交于点P(x,y),根据三角函数定义,sinα,cosα,tanα的函数值符号是否确定?为什么?sinycosxtan(0)yxxα的终边P(x,y)Oxysinsincos思考3:综上分析,各三角函数在各个象限的取值符号如下表:三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sincostan++++----+-+-Oxy53理论迁移例1求的正弦、余弦和正切值.5313(,)22P-解:在直角坐标系中,可知正角的终边与单位圆的交点如图,所以5313(,)22P53sin3251cos325tan33OxyP(-3,-4)例2已知角的终边过点P(-3,-4),求角的正弦、余弦和正切值.22-3-4345,4sin53cos54tan3pryrxryx解:由点(,)可知由推广定义知:小结一、本节课由直角三角形为载体的锐角三角函数——象限角为载体的锐角三角函数——单位圆上点的坐标表示锐角三角函数——单位圆上点的坐标表示任意角三角函数——象限角为载体的任意角三角函数二、理解任意角三角函数的定义,熟记三角函数的公式,认清结构特征三、任意角三角函数各象限符号问题作业:P15练习:1,2,3做在书上谢谢大家!
本文标题:高一数学1.2.1-1任意角的三角函数课件新课标人教版必修4
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