高中数学人教A必修一第一章第一节(知识点+例题讲解)

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练第一章集合与函数概念课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练1．1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【课标要求】1．通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．2．体会元素与集合间的“从属关系”．3．记住常用数集的表示符号并会应用．【核心扫描】1．利用集合中元素的三个特性解题．(重点)2．准确认识元素与集合之间的符号“∈”“∉”．(难点)课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练自学导引1．元素与集合的概念(1)元素：一般地，我们把统称为元素．(2)集合：把组成的总体叫做集合(简称为)．(3)集合相等：只要构成两个集合的是一样的，我们就称这两个集合是相等的．(4)集合元素的特性：、、无序性．研究对象一些元素集元素确定性互异性课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练想一想：试判断下列各组对象能否构成一个集合，并说明理由．①中央电视台著名节目主持人；②北京市内跑得快的汽车；③上海市所有的高中生；④爱好唱歌的人．提示紧扣集合定义，根据集合的元素的确定性判断即可．①②④中没有明确的标准，不符合集合的定义，不能构成集合，只有③能构成集合．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练2．元素与集合的表示表示元素：通常用小写拉丁字母a，b，c…表示集合中的元素；集合：通常用大写拉丁字母A，B，C…表示集合.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练3．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果中的元素，就说a不属于集合AaAa不属于集合Aa是集合Aa不是集合A课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练4.常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练名师点睛1．准确认识集合的概念(1)集合在数学中是不加定义的，我们只对它进行描述性说明，集合的本质是某些确定元素组成的总体．集合是一个整体，已暗含“所有”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，如某些学生、某些方程的解、1～10内的自然数等我们看到的，听到的，想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“元素”．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练2．集合中元素的特性的理解(1)确定性：是指集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一，它是判断一组对象是否形成集合的标准．如：大于3小于11的偶数分别为4,6,8,10，它们是确定的，可构成集合，而“我国的小河流”，由于“小”这个标准不确定，所以构不成集合．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(2)互异性：是指对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．简单地说，一个集合中不能出现相同的元素．(3)无序性：集合中的元素是没有前后顺序的，如由1,2,3和3,2,1组成的集合是同一集合．3．元素与集合的关系(1)a∈A与a∉A取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性可知，对于任何a与A，a∈A与a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立．(2)符号“∈”“∉”表示元素与集合的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点要牢记．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一集合的基本概念【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合：(1)著名的数学家；(2)某校2012年在校的所有高个子同学；(3)不超过20的非负数；(4)2010年度诺贝尔经济学奖获得者；(5)2010年上海世博会的所有展馆．[思路探索]紧扣集合的定义，根据集合的元素的确定性判断即可．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x20或x0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)(5)中研究的对象是确定的，所以能构成集合．规律方法判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式1】下列对象能构成集合的是()．A．中国大的城市B．方程x2－9＝0在实数范围内的解C．直角坐标平面内第一象限的一些点D.3的近似值的全体课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解析A中的城市大到什么程度不明确，所以不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．答案B课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型二集合中元素的特性及应用【例2】已知集合A是由三个元素m，m2＋1,1组成，且2∈A，求m.[思路探索]分别令2＝m,2＝m2＋1，再结合集合中元素的互异性，分类讨论求解．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解∵2∈A，则m＝2或m2＋1＝2，∴m＝2或m＝±1，当m＝2时，集合中的元素为：2,5,1，符合集合中元素的互异性．当m＝1时，不符合元素的互异性，舍去．当m＝－1时，集合中的元素为：－1,2,1，符合集合中元素的互异性．综上可知m＝2或m＝－1.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式2】已知集合M是由三个元素－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4组成，若2∈M，求x.解当3x2＋3x－4＝2时，即x2＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，即x2＋x－6＝0，则x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型三元素与集合的关系【例3】(12分)若所有形如62＋x∈N(x∈N)的数组成集合A.(1)试判断元素1和2与集合A的关系；(2)求集合A中的元素．审题指导(1)令x＝1，x＝2，判断62＋x∈N是否成立；(2)令x分别取0,1,2,3,4，代入62＋x逐一检验确定x的值．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[规范解答](1)当x＝1时，62＋1＝2∈N；(3分)当x＝2时，62＋2＝32∉N，∴1∈A,2∉A.(6分)(2)令x＝0,1,2,3,4，代入62＋x∈N检验，(9分)可得0,1,4∈N(12分)【题后反思】(1)对于元素与集合之间的关系，一定要明确集合是由怎样的元素构成，然后再确定某对象是否为集合中的元素．(2)解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式3】若所有形如3a＋2b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－22是不是集合A中的元素．解因为在3a＋2b(a∈Z，b∈Z)中，令a＝2，b＝－2，即可得到6－22，所以6－22是集合A中的元素．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练误区警示因忽略集合中元素的互异性而出错【示例】写出由方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合A.[错解]x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a，则解集为A中的元素为1，a.错解没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[正解]x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a.若a＝1，则解集A中的元素为1；若a≠1，则解集A中的元素为1，a.集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三个特性中互异性对解题的影响最大，解与集合有关的参数取值，一定要代入集合验证它是否符合集合元素的互异性．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练单击此处进入活页限时训练课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练知识回顾KnowledgeReview