求函数f(x)周期的几种常见方法解读

求函数f(x)周期的几种常见方法函数的周期性是函数的一个重要性质．对一般函数f(x)的周期，不少中学生往往不知从何入手去求．为了加深对函数f(x)周期概念的理解，本文以实例来说明求函数f(x)周期的几种常见方法，供读者参考．1定义法根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法．(1)∴f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x＋2a)，f(x＋3a)，f(x＋4a)，…，当出现f(x＋T)＝f(x)(T≠0)的形式时，就可知T是f(x)的周期．周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由．(1)∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a](2)∴f(x)为周期函数，3a是它的周期．2特殊值法当题设条件中有f(m)＝n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解即可奏效．f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．3变量代换法例4设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)，试判断f(x)是否周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(x＋1995)＝f(x＋1994)＋f(x＋1996)(x∈R)中，以x代x＋1995，得f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)；(1)在(1)中以x＋1代x，得f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x－1)＋f(x＋2)＝0，∴f(x－1)＝－f(x＋2)．(3)在(3)中以x＋1代x，得f(x)＝－f(x＋3)；(4)在(4)中以x＋3代x，得f(x＋3)＝－f(x＋6)．(5)将(5)代入(4)，得f(x＋6)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，6是它的一个周期．4递推法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．(1)在(1)中以x＋2代x，得f(x＋4)＝f(x＋6)＋f(x＋2)．(2)(1)＋(2)，得f(x)＋f(x＋6)＝0，∴f(x)＝－f(x＋6)．(3)在(3)中以x＋6代x，得f(x＋6)＝－f(x＋12)．(4)(4)代入(3)，得f(x＋12)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，12是它的一个周期．5消去法例6若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，试判断f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解在f(5＋x)＝f(5－x)中以5－x代x，得f(x)＝f(10－x)；(1)在f(7＋x)＝f(7－x)中以7－x代x，得f(x)＝f(14－x)．(2)由(1)和(2)，得f(10－x)＝f(14－x)．(3)在(3)中以10－x代x，得f(x＋4)＝f(x)．∴f(x)是周期函数，4为它的一个周期．6结构类比法f(x)是不是周期函数．若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由．解：可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2π是它的一个周期．下面进行证明：于是f(x＋2π)＝f[(x＋π)＋π]＝－f(x＋π)＝f(x)．∴f(x)为周期函数，2π是它的一个周期．7公式法例8已知y＝f(x)(x∈R)的图象是连续的曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称(a＜b)．(1)求证：f(x)＝f(2a－x)，f(x)＝f(2b－x)；(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期．证明(1)∵f(x)的图象关于直线x＝a对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线，∴设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于x＝a的对称点P'的坐标为P'(x'，y'),同理可证f(x)＝f(2b－x)．解(2)由(1)可知，f(x)＝f(2a－x)＝f(2b－x)，∴f(2a－x)＝f(2b－x)，以x代2a－x，得f[x＋(2b－2a)]＝f(x)．∵a＜b，2b－2a＞0且为常数，∴f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．由例8可得到如下的定理若函数y＝f(x)(x∈R)的图象关于直线x＝a和直线x＝b(a＜b)对称，且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b－2a为它的周期．此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为2.7－2.5＝4．