函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印1第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与yx为同一函数的是（）2.Ayx2.Byxln.xCye.lnxDye解：lnlnxyexex，且定义域,，∴选D2．已知是f的反函数，则2fx的反函数是（）1.2Ayx.2Byx1.22Cyx.22Dyx解:令2,yfx反解出x：1,2xy互换x，y位置得反函数12yx，选A3．设fx在,有定义，则下列函数为奇函数的是（）.Ayfxfx.Byxfxfx32.Cyxfx.Dyfxfx解：32yxfx的定义域,且3232yxxfxxfxyx∴选C4．下列函数在,内无界的是（）21.1Ayx.arctanByx.sincosCyxx.sinDyxx解:排除法：A21122xxxx有界，Barctan2x有界，Csincos2xx故选D5．数列nx有界是limnnx存在的（）A必要条件B充分条件C充分必要条件D无关条件解：nx收敛时，数列nx有界（即nxM），反之不成立，（如11n有界，但不收敛，选A6．当n时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k=（）A12B1C2D-2解：2211sinlimlim111nnkknnnn，2k选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设11fxx，则ffx的定义域为解：∵ffx111111fxx专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印2112xxx∴ffx定义域为(,2)(2,1)(1,)8．设2(2)1,fxx则(1)fx解：（1）令22,45xtfttt245fxxx（2）221(1)4(1)5610fxxxxx9．函数44loglog2yx的反函数是解：（1）4log(2)yx，反解出x：214yx（2）互换,xy位置，得反函数214xy10．lim12nnnn解：原式33lim212nnnn有理化11．若105lim1,knnen则k解：左式=5lim()510nknkneee故2k12．2352limsin53nnnn=解：当n时，2sinn～2n∴原式=2532lim53nnnn=65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsin71xyx的定义域解：21113471110xxxxx或∴函数的定义域为3,1)1,414．设sin1cos2xfx求fx解：22sin2cos21sin222xxxf221f故221fxx15．设fxlnx，gx的反函数1211xgxx，求fgx专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印3解:（1）求22():1xgxyx∴反解出x：22xyyx22xyy互换,xy位置得()22gxxx(2)lnln22fgxgxxx16．判别fx2ln1xx的奇偶性。解法（1）：fx的定义域,，关于原点对称2ln1xxxf2ln11xx122ln1ln()1xxxxfx2ln(1)fxxx为奇函数解法（2）：fxfx22ln(1)ln1xxxx22ln(1)1ln10xxxxfxfx故fx为奇函数17．已知fx为偶函数，gx为奇函数，且11fxgxx，求fx及gx解：已知()()fxgx11x1()()1fxgxx即有1()()1fxgxx22得11211fxxx故21()1fxx2得11211gxxx故2()1xgxx18．设32lim8nnnana，求a的值。解：3323limlim1nnnnnaananalim,nnaanaee8ae故ln83ln2a19．求111lim12231nnnn解：（1）拆项，11(1)(1)kkkkkk111,2,,1knkk11112231nn1111112231nn111n（2）原式=lim11111limnnnnneen专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印420．设0,1,xfxaaa求21limln12nfffnn解：原式=122ln1limnnaaan2ln2lnln1limnaanan2ln12limnann2(1)ln2limnnnanln0,112aaa四、综合题（每小题10分，共20分）21．设fx=21xx，求3fx=fffx并讨论3fx的奇偶性与有界性。解：（1）求3fx22221112fxxxfxfxxfxx232222113fxxfxffxfxx（2）讨论3fx的奇偶性33213xfxfxx3fx为奇函数（3）讨论3fx的有界性3213313xxfxxx3fx有界22．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V表示成中心角的函数。解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h，底半径为r，依题意：漏斗容积V=213rh22,2hRrrR22222244RRrhR故2224324RVR323424R（2）函数的定义域222240,20故3224024RV五、证明题（每小题9分，共18分）23．设fx为定义在,的任意函数，证明fx可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印5证：(1)2fxfxfx2fxfx(2)令2fxfxgxx2fxfxgxgxgx为偶函数(3)令2fxfxxx2fxfxxxx为奇函数（4）综上所述：fxgx偶函数+x奇函数24设fx满足函数方程2fx+1fx=1x，证明fx为奇函数。证：（1）1121fxfxx令11,2tffttxt函数与自变量的记号无关122ffxxx（2）消去1fx，求出fx2221:4fxfxxx22223,3xxfxfxxx（3）fx的定义域,00,又223xfxfxxfx为奇函数＊选做题1已知222(1)(21)126nnnn，求22233312lim12nnnnnn解:222312nnn2222233311211nnnnnn且222312limnnnn31(21)1lim36nnnnnn222312lim1nnn3(1)(21)1lim6(1)3nnnnn∴由夹逼定理知，原式132若对于任意的,xy，函数满足：专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印6fxyfxfy，证明fy为奇函数。解(1)求0f：令0,0,02000xyfff(2)令:0xyffyfyfyfyfy为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1．下列极限正确的（）A．sinlim1xxxB．sinlimsinxxxxx不存在C．1limsin1xxxD．limarctan2xx解：011sinlimsinlimxttxtxxt选C注：sin1sin10lim0;lim1sin101xxxxxABxxx2．下列极限正确的是（）A．10lim0xxeB．10lim0xxeC．sec0lim(1cos)xxxeD．1lim(1)xxxe解：101lim0xxeee选A注：:,:2,:1BCD3．若0limxxfx，0limxxgx，则下列正确的是（）A．0limxxfxgxB．0limxxfxgxC．01lim0xxfxgxD．0lim0xxkfxk解：000limlimxxxxkkfxkfxk选D4．若02lim2xfxx，则0lim3xxfx（）A．3B．13C．2D．12解：002323limlim32xttxxtfxft021211lim23323tftt选B专业精神诚信教育同方专转本高等数学内部教材严禁翻印75．设1sin(0)0(0)1sin(0)xxxxfxxaxx且0limxfx存在，则a=（）A．-1B．0C．1D．2解：0sinlim1,xxx01limsinxxaoax1a选C6．当0x时，11afxx是比x高阶无穷小，则（）A．1aB．0aC．a为任意实数D．1a解：0011112limlim01aaxxxxaaxx故选A二、填空题（每小题4分，共24分）7．lim1xxxx解：原式lim1111lim11xxxxxeex8．2112lim11xxx解：原式112lim11xxxx111lim12xx9．3100213297lim31xxxx解：原式3972132limlim3131xxxxxx32832710．已知216lim1xxaxx存在，则a=解：1lim10xx21lim60xxax160,7aa11．1201arcsinlimsinxxxexx