第四章积分变换法

1在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算．在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。积分变换在现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用。2对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。积分变换法在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的。3特别是对于无界或半无界的定解问题，用积分变换来求解，最合适不过了。（注明：无界或半无界的定解问题也可以用第三章方法求解）4()ft所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）()()(,)dbaFftKtt变为另一函数类B中的函数(),F这里(,)Kt是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核。()F称为()ft的像函数或简称为像，()ft称为()F的原函数。在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程A中所求的解，而且是显式解。像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在5另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:（1）特别当核函数it(,)Kte（注意已将积分参变,ab量改写为变量），当，则i()()dtFftet称函数()F为函数()ft的傅里叶（Fourier）变换，()F()ft简称为函数的傅氏变换．同时我们称()ft为()F的傅里叶逆变换。6（2）特别当核函数(,)ptKtpep0,ab（注意已将积分参变量改写为变量），当，则0d()()pttFpfte称函数()Fp为函数()ft的拉普拉斯(Laplace)变换，简称()Fp为函数()ft的拉氏变换．同时我们称()ft为()Fp的拉氏逆变换。78用积分变换求解定解问题的步骤为：第一：根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换；对于自变量在内变化的定解问题（如无界域的坐标变量）常采用傅氏变换，而自变量在内变化的定解问题（如时间变量）常采用拉氏变换。对于自变量在),(),0(9第二：对方程取积分变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；第三：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；第四：求解常微分方程的解，即为原定解问题的变换；第五：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解。1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院，包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。傅立叶的两个最主要的贡献:•“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点•“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点4.1傅里叶级数101.傅里叶级数的引进在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角频率,是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.tAsinA（一）周期函数的傅里叶展开非正弦周期函数:矩形波otu11tttu0,10,1)(当当不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt11tusin4)3sin31(sin4ttu12)5sin513sin31(sin4tttu)7sin715sin513sin31(sin4ttttu13)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt由以上可以看到：一个比较复杂的周期函数可以看作是许多不同频率的简谐函数的叠加142三角级数三角函数系的正交性三角级数引例中的简谐振动函数（1）10)sin()(kkktkAAtf10)sincoscossin(kkkkktkAtkAA,200Aa记,tx,sinkkkAa,coskkkAb15即:由三角函数组成的函项级数成为三角级数。则(1)式右端的级数可改写为(2)行如(2)式的级数称为三角级数。10)sincos(2kkkkxbkxaa三角函数系的正交性(1)三角函数系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1kxkxxxxx即i),0coskxdx,0sinkxdx。],[:)2(上的积分等于零任意两个不同函数在正交16ii)iii).0cossinnxdxkx),2,1,(nk其中,,,0sinsinnknknxdxkx,,,0coscosnknknxdxkx),2,1,(nk其中173函数展开成傅里叶级数问题1.若能展开,是什么?iiba,2.展开的条件是什么?傅里叶系数10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有dxkxbkxadxadxxfkkk])sincos([2)(10。)1(0a求18,220adxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110可得。)2(ka求kxdxakxdxxfcos2cos)(0]cossincoscos[1kxdxnxbkxdxnxaknn19可得可得kxdxak2cos,kakxdxxfakcos)(1),3,2,1(k。)3(kb求kxdxakxdxxfsin2sin)(0]sinsinsincos[1kxdxnxbkxdxnxannn,kb20kxdxxfbksin)(1),3,2,1(k从而得到傅里叶系数),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1kkxdxxfbkkxdxxfakk或21把以上得到的系数代入三角级数问题:该级数称为傅里叶级数10)sincos(2kkkkxbkxaa10)sincos(2?)(kkkkxbkxaaxf条件22三角级数的收敛性定理:0kkk=1a+(a+b)2若级数收敛,则级数cossin0kkk=1a+(akx+bkx)2在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。23定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)设)(xf是以2为周期的周期函数.如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,(2)在一个周期内至多只有有限个极值点,则)(xf的傅里叶级数收敛,并且当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf;当x是)(xf的间断点时,级数收敛于2)0()0(xfxf;244正弦级数和余弦级数一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项。1.定理设是周期为的函数,且可积,则)(xf2(1)当)(xf为奇函数时，它的傅里叶系数为),2,1(sin)(2),2,1,0(00kkxdxxfbkakk25证明0(2)当)(xf为偶函数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20kbkkxdxxfakkkxdxxfakcos)(1),3,2,1,0(k,)()1(是奇函数设xf26同理可证(2)2.定义定理证毕。kxdxxfbksin)(10sin)(2kxdxxf),3,2,1(k(1)如果)(xf为奇函数,其傅立叶级数kxbkksin1称为正弦级数。(2)如果)(xf为偶函数,其傅立叶级数kxaakkcos210称为余弦级数。27非周期函数的周期性开拓).(2,],0[)(xFxf函数为周期的延拓成以上定义在设,0)(0)()(xxgxxfxF令),()2(xFxF且则有如下两种情况.偶延拓奇延拓注：281.奇延拓)()(xfxg0)(000)()(xxfxxxfxF则xy0的傅立叶正弦级数)(xf)0(x1sin)(kkkxbxf292.偶延拓)()(xfxg0)(0)()(xxfxxfxF则的傅立叶余弦级数)(xfxy0)0(x10cos2)(kkkxaaxf305周期函数的傅里叶展开21,cos,cos,,cos,2sin,sin,,sin,xxkxlllxxkxlll2l周期性(2)()fxlfx若函数f(x)为周期函数的光滑或分段光滑函数，且定义域为则：[,]ll作为基本函数族，将()fx展开为傅里叶级数（即下式右端级数）01()cossinkkkkxkxfxaabll,2lT.2lT则可取三角函数族：)sincos(210xkbxkaakkk31三角函数组具有正交性1cos0(0),1sin0,coscos0(),sinsin0(),cossin0.llllllllllkxdxklkxdxlkxnxdxknllkxnxdxknllkxnxdxll上式称为周期函数()fx的傅里叶级数展开式（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数（简称傅氏系数）。三角函数族是正交的．即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即32cossinlk-lklk-l1kπxa=f(x)()dxδll1kπxb=f(x)()dxll其中k2(k=0)δ=1(k0)利用三角函数族的正交性，可以求得展开系数为关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：33(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；（2）在每个周期内只有有限个极值点，则傅里叶级数收敛，且在收敛点有：01ππ()(cossin)kkkkxkxfxaabll在间断点有：011ππ[(0)(0)](cossin)2kkkkxkxfxfxaabll狄利克雷（Dirichlet）定理:若函数()fx满足条件：3435（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开sinkxl是奇函数coskxl是偶函数奇函数:f(z)则由傅里叶系数的计算公式可见，所有a0和ak均等于零,则有1()sin,kkkxfxbl1()sin.lklkbfdll偶函数:f(z)则由傅里叶系数的计算公式