关于整式的竞赛题及答案

第9页关于第一章整式的提高题一、关于有理数1、已知有理数a、b、c满足|a―b―3|+（b+1)2+|c－1|=0，求(－3ab)·（a2c－6b2c）的值。解：因为|a―b―3|+（b+1)2+|c－1|=0,又|a―b―3|≥0,（b+1)2≥0,|c－1|≥0必满足:a―b―3=0,b+1=0,c－1=0解得：a=2,b=—1,c=1，把a=2,b=—1,c=1代入(－3ab)×(a2c－6b2c)得：原式=[(－3)×2×(－1)]×[22×1－6×(－1)2×1]=6×(－2)=－122、若x2+︱x︱−6=(x+2)(x−3)成立，求的值?解：x2+︱x︱−6=(x+2)(x−3)去括号得:x2＋|x|－6=x2－x－6当x＞0时,|x|≠－x解得:|x|=－x,即当x＜0时,|x|=－x因此，x≤0当x=0时,|x|=－x3、已知有理数a、b、c如图示，化简|a+b|－|c－a|解：由a、b、c在数轴上的位置可知：a+b＞0，𝑐－𝑎＜0因此，|a+b|－|c－a|=a+b－[－（c－a）]=a+b+c－a=b+c4、如果|y－3|+(2x－4)2=0,求2x－y的值。解：因为|y－3|+(2x－4)2=0,又|y－3|≥0,(2x－4)2≥0必满足:y－3=02x－4=0解得：y=3，x=2把y=3，x=2代入2x－y得：2x－y=2×2－3=15、已知x2＋x－1＝0,求x3＋2x2＋3的值。解：把x2＋x－1＝0变形得:x2＋x＝1,=x＋x2＋3X3＋2x2＋3把x2＋x＝1代入,得:x＋x2＋3=x(x2＋x)＋x2＋3=1+3把x2＋x＝1代入,得:x(x2＋x)＋x2＋3=4C𝒶0b第10页二、关于恒等式1、若(x+a)(x+b)=x2−kx+ab，求k的值?解：等式左边展开得：(x+a)(x+b)=x2＋(a+b)x+ab因此，a+b=－k,即k=－a－b2、已知：2x·(xn+1+2)=2xn+1－4，求的值。解：等式左边展开：2xn+1+4x=2xn+1－4因此，4x=－4，解得x=－13、若（x−3）(3x+5)=ax2+bx+c求a、b、c解：等式左边展开：3x2－4x－15因此，a=3,b=－4,c=－154、5a2+n3bn+m=5(a3b)5÷a2b,求m,n的值?解：等式右边化简：5a2+n3bn+m=5ab4,因此2+n=1,n+m=4解得n=－1,m=55、若a3(3an－2am+4ak)=3a9－2a6+4a4，求－3k2(n3mk+2km2）的值。解：a3(3an－2am+4ak)=3a9－2a6+4a4a3(3an－2am+4ak)=a3(3a6－2a3+4a)即，3an－2am+4ak=3a6－2a3+4a所以，n=6,m=3,k=1,并代入－3k2(n3mk+2km2）得：原式=（－3）×12×(63×3×1+2×1×32）=(－3)×666=－1998三、关于整式的加减1、已知x3+x2+x+1=0,求x4+x3+x2+x+1的值?解：x4+x3+x2+x+1=x(x3+x2+x+1)+1把x3+x2+x+1=0代入x(x3+x2+x+1)+1得：x(x3+x2+x+1)+1=x·0+1=12、已知：y－xxy=3，求2y－3xy－2xy+2xy－x的值。解：2y－3xy－2xy+2xy－x=2(y－x)－3xy(y－x)+2xy把y－xxy=3变形得：y－x=3xy,代入2(y－x)－3xy(y－x)+2xy：得：原式=6xy－3xy3xy+2xy=3xy5xy=353、关于的代数式(x2+ax+1)(x+1),若展开式中不含有x2项，求a的值。解：x2+ax+1)(x+1)的展开式中含有x2的部分是:x2+ax2,即:(1+a)x2因不含有x2项，则有(1+a)x2=0,即:1+a=0,解得:a=−14、若代数式3xa−b−1＋(b−1)x2＋3是关于的五次二项式，求a+2b的值。解：3xa−b−1＋(b−1)x2＋3是关于x的五次二项式，因此，第11页a－b－1=5,b−1=0解得：a=7,b=1所以，a+2b=7+2×1=95、x:y:z=(a−b):(b−c):(c−a),求x+y+z的值。解：因为x:y:z=(a-b):(b-c):(c-a)，设x=(a−b)k,y=(b−c)k,z=(c−a)k因此，x+y+z=(a−b)k+(b−c)k+(c−a)k=ak－bk+bk－ck+ck－ak=0四、关于整式公式1、计算：－2100×(0.5)100×(－1)2003－122、若2x+5y=4,求4x·32y的值.解：原式=－2100×(12)100×(－1)－12解：4x·32y=(22)x·(25)y=－(2×12)100×(－1)－12=22x·25y=22x+5y=1－12=12把2x+5y=4代入22x+5y得：22x+5y=24=16，即4x·32y=163、[(－1)m]2n+02002―(―1)19904、若xm·x2m=2，求x9m的值。解：原式=1+0-1解：x9m=x3(m+2m)=(xm+2m)3=0=(xm·x2m)3把xm·x2m=2代入得:(xm·x2m)3=23=85、若a2n=3，求（a3n)4的值。6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值解：（a3n)4=a12n=(a2n)6解：a2m+3n=a2m·a3n=(am)2·(an)3把a2n=3代入得：(a2n)6=36=729把am=2,an=3,代入得：因此，（a3n)4的值为729a2m+3n=22·33=1087、已知xn=5,yn=3,求(x2y)2n的值?8、已知xm=8,xn=5，求xm−n的值；解：(x2y)2n=x4ny2n=(xn)4·(yn)2解：xm−n=xmxn把xn=5,yn=3代入得:把xm=8,xn=5代入xmxn得:(x2y)2n=54·32=5625xmxn=85因此，xm−n的值为859、若2x=6,2y=3,求22x－3y的值.10、已知272x÷9x÷3x=27,求的值.解：22x－3y=22𝑥23𝑦=(2x)(2𝑦)32解：等式左边：=272x÷9x÷3x=(33)2x÷(32)x÷3x把2x=6,2y=3代入得：=36x÷32x÷3x=36x−2x−x=33x(2x)(2𝑦)32=6233=3627=43等式右边为：27=33因此，22x－3y的值为43因此，33x=33解得：x=1第12页11、已知x+y=17,xy=60,求x2+y2的值?解：x+y=17则(x+y)2=172即x2+2xy+y2=172把xy=60代入得x2+2×60+y2=289解得：x2+y2=16912、已知x2−y2=4,求(x−y)2(x+y)2的值?解：(x−y)2(x+y)2=[(x−y)(x+y)]2=（x2−y2)2把x2−y2=4代入得：（x2−y2)2=42=1613、已知x−1x=1，求x2+1x2的值。解：x−1x=1两边平方得：x2−2+1x2=1解得：x2+1x2=314、已知x+y=1,求12x2+xy+12y2的值。解：12x2+xy+12y2=12(x2+2xy+y2)=12（x+y）2把x+y=1代入12（x+y）2得：12（x+y）2=12×12=12因此，12x2+xy+12y2的值为1215、若(x−y)2=12，(x+y)2=16，求xy的值？解：（x−y)2=x2−2xy+y2，(x+y)2=x2+2xy+y2（x+y)2−(x−y)2=(x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2)=4xy因（x+y)2=16，(x−y)2=12，所以，4xy=16−12=4因此，xy=116、已知a+b=3,ab=−12,求下列各式的值:（1）a2−2ab+b2（2）(a−b)2．解：（1）a2−2ab+b2=a2+2ab+b2−3ab=(a+b)2−3ab把a+b=3,ab=12代入得:(a+b)2−3ab=32−3×(−12)=45因此，a2−2ab+b2的值为45（2）(a−b)2=a2+2ab+b2−4ab=(a+b)2−4ab把a+b=3,ab=−12,代入得:(a+b)2−4ab=32−4×(−12)=57因此，(a−b)2的值为5717、已知a=8131,b=2741,c=961则a、b、c的大小关系是解：a=8131=(34)31=3124，b=2741=(33)41=3123，c=961=(32)61=3122，因为3124＞3123＞3122，因此，a＞b＞c18、已知a3=3,b5=5则a、b的大小关系是解：因为a3=3，所以a3·a3·a3·a3·a3=3×3×3×3×3=243，即a15=243因为b5=5，所以，b5·b5·b5=5×5×5=125，即b15=125第13页因此,a15＞b15,即a＞b五、关于方程1、(x+1)2−(x+2)(x−2)=152、3x(x+2)−2(x2+5)=(x−2)(x+3)解：(x+1)2−(x+2)(x−2)=15解：3x(x+2)−2(x2+5)=(x−2)(x+3)x2+2x+1−(x2−4)=153x2+6x−2x2−10=x2+x−62x−3=15，解得：x=95x=4，x=45六、关于数列1、23(32+1)(34+1)……(332+1)+1解:23(32+1)(34+1)……(332+1)+1=(32−1)(32+1)(34+1)……(332+1)+1=(34−1)(34+1)……(332+1)+1=(38−1)……(332+1)+1=364−1+1=3642、观察下列各式：x，−2x2，4x3，−8x4，16x5，……写出第n个式子解:(−1)n+1(2x)n3、计算1+5+52+53+…+599+5100的值。解:设S=1+5+52+53+54+55……+599+51005S=5×（1+5+52+53+54+55……+599+5100）=5+52+53+54+55……+5100+51015S−S=5101−1，S=5101−144、计算:(1−122)(1−132)(1−142)……(1−120092)(1−120102)解:(1−122)(1−132)(1−142)……(1−120092)(1−120102)=(1−12)×(1+12)×(1−13)×(1+13)×(1−14)×(1+14)……（1−12010）×(1+12010)=12×32×23×43×34×54×……×20092010×20112010=12×20112010=201140205、计算:(2+1)×（22+1）×（24+1）……（22n+1)解:(2+1)×（22+1）×（24+1）……（22n+1)=(2−1)×(2+1)×（22+1）×（24+1）……（22n+1)=(22−1)×（22+1）×（24+1）……（22n+1)=(24−1)×（24+1）……（22n+1)=24n−1第14页答案:x2−1;x3−1;x4−1;x5−1;xn+1−16、计算:1002−992+982−972+⋯…+22−1解:1002−992+982−972+⋯…+22−1=(100−99)×(100+99)+(98−97)×(98+97)+⋯…+(2−1)×(2+1)=100+99+98+87+……+2+1=100×（100+1）2=50×101=50507、计算(12＋32＋…＋992)－(22＋42＋…＋1002)解:(12＋32＋…＋992)－(22＋42＋…＋1002)=(12－22)＋(32－42)＋……＋(992－1002)=−(1+2)−(3+4)−(5+6)……−(97+98)−(99+100)=−1−2−3−4−5−6……−99−100=−50×101=−50508、计算：20102－20092+20082－20072+⋯+22－1.解：原式=(20102－20092)+(20082－20072)+⋯+(22－1)=(201