相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A”“X”型例1：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点，求：BE：EF的值.解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，则∴PE=EFBP=2PF=4EF所以BE=5EF∴BE：EF=5：1.解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，∴BE：EF=5：1.解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，∵BD=2DC∴∴BE：EF=5：1.变式：如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC=2：1，E是AD的中点,连结BE并延长交AC于F,求AF：CF的值.解法一：过点D作CA的平行线交BF于点P，解法二：过点D作BF的平行线交AC于点Q，解法三：过点E作BC的平行线交AC于点S，解法四：过点E作AC的平行线交BC于点T，，1AEDEFEPE,2DCBDPFBP，则2EADAEFDQ,3DCBCDQBF，EFEFEFEFDQEFBFBE563，则DCCTDT21；TCBTEFBE，DCBT25例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：（证明：过点C作CG//FD交AB于G）例3：如图，△ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.方法一：过E作EM//AB，交BC于点M，则△EMC∽△ABC（两角对应相等，两三角形相似）.方法二：过D作DN//EC交BC于N.例4：在△ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上的一点，BE=AD，DE交AB于F。求证：EF×BC=AC×DF证明：过D作DG∥BC交AB于G，则△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴即∴EF×BC＝AC×DF.例5：已知点D是BC的中点，过D点的直线交AC于E,交BA的延长线于F,求证：CEBDCFBFECAEBFAFDGDFBEEFDGDFADEFDGADBCACDGBCADAC分析：利用比例式够造平行线，通过中间比得结论.（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段EC,使得所得四条线段分别构成两个三角形.）例6：已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求证：BC2=2AC·CD分析：本题的重点在于如何解决“2”倍的问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段.例7:如图，△ABC中，AD是BC边上中线，E是AC上一点，连接ED且交AB的延长线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.分析：利用前两题的思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的结论，证明所得结论.找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似.例8：在∆ABC中，AB=AC,AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB,延长BP交AC于E，交CF于F,求证：BP²=PE·PF分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明.二、作垂线构造相似直角三角形例9：如图从ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证：证明：过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N∴AM：AE=AB：AC（1）（1）+（2）得例10：∆ABC中，AC=BC，P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），MN过Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求证：证明：过P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，则CEPF为矩形∴PFEC∵∠A＝∠B=45°∴RtΔAEP=RtΔPFB∴∵EC=PF∴（1）在ΔECP和ΔCNM中CP⊥MN于Q∴∠QCN+∠QNC=90°又∵∠QCN+∠QCM=90°∴∠MCQ=∠CNQ∴RtΔPEC∽RtΔMCN∴即（2）由（1）（2）得三、作延长线构造相似三角形例11.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分线CH⊥AB于点H，BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC2ACAFADAEABCNCMPBPA::AMACAEAB)(ANAMACANACAMACAFADAEABBCMADN//ECPEPFPEPBPACNECCMEPCNCMECEPCNCMPBPA91：：∴△△PBCPADSSPBCPCHSS△△∵2172：∴四边形△AHCDPADSS21AHCDS四边形∵6PADS△∴54PBCS△2721PBCHBCSS△△∴例12.如图，RtABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F，FG交AB于G，求证：FG=CF·BF分析：欲证式即由“三点定形”，ΔBFG与ΔCFG会相似吗？显然不可能。（因为ΔBFG为RtΔ），但由E为CD的中点，∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H，则又ED=EC∴FG=FH又易证RtΔCFH∽RtΔGFB∴FG·FH=CF·BF∵FG=FH∴FG2=CF·BF四、利用中线的性质构造相似三角形例13：如图，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC边上，若BD=DC=EC=1，求AC.解：取BC的中点M，连AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC∴∠DBC=∠DCB∴∠CAM=∠C=∠DBC∴ΔMAC∽ΔDBC∴又DC=1MC=BC∴（1）又RtΔAEC∽RtΔBAC又∵EC=1∴（2）由（1）（2）得，∴小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取BC中点M，构造ΔMAC∽ΔDBC是解题关键FGCFBFFGECFHEDFGAEAFECFHEDFGBFFHFGCFBCACDCMC21221BCDCBCMCACBCBCCEAC2421ACAC32AC