2.2.1《综合法和分析法》(上课用)

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.复习推理合情推理演绎推理归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）三段论（一般到特殊）高二数学选修2-2第二章推理与证明2020/7/11孝高蒋志方22.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因为b2+c2≥2bc,a0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.证明:在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。１.综合法——由因导果从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.(又称顺推证法)探索求知注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:PQ1QnQQ2Q3Q1Q2…特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)例1：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．分析：把题中的文字语言转化为符号语言：A+C=2B⑴，b2=ac⑵由（1）联想到内角各能得到什么？由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论证明：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C①CBAABCCBA的内角，所以为，，因为由①②，得②3B③由a，b，c成等比数列，有acb2④由余弦定理及③，可得accaBaccab22222cos2再由④，得0222）即（caacacca因此，a=c从而有A=C由②③⑤，得3CBA.为等边三角形所以ABC,,abc例2.△ABC三边长的倒数成等差数列，求证：.90B证明：acb212)(12cabbcab1acbac222acbcaB2222cos因为a,b,c为△ABC三边所以a+cb01cab所以cosB090B因此探索求知例：求证不等式：.10578.注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。证明：要证,10578.)105()78(22即证.50210556278.5056,502562即故不等式成立.只需证只需证2.分析法探索求知从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法.（又称倒推证法）——执果索因注：用Q表示所要证明的结论,则分析法可用框图表示为:得到一个明显成立的条件QP1P1P2P2P3…特点:执果索因(执果索因,妙在转化!)问题:在《数学5(必修)》中，我们如何证明基本不等式(0,0)?2≤ababab指出其中的证明方法的特点.证法1:对于正数a,b,有202022≥≥≥≥ababababababab（）证法2:要证只要证只要证只要证2≤abab2≤abab02≤aabb20()≤ab因为最后一个不等式成立，故结论成立。综合法分析法表达简洁!目的性强,易于探索!【分析法】从结论出发，寻找结论成立的充分条件直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件。要证：只要证：只需证：显然成立上述各步均可逆所以结论成立要证：所以结论成立格式练习.求证：6372证法一：为了证明6372成立因为,6372都是正数和所以只需证明22)63()72(成立展开得18291429即18214218141814因为1814成立，所以6372成立证法二：1814181418214222)63()72(637218291429例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,试证：s2a1s=(a+b+c),2解:欲证s2a,只需证2ssb即证bs,也即证1()2babc即证ba+c因为a,b,c为一个三角形的三边,所以ba+c成立.故s2a成立.用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:……PP1P1P2Pn-1PnQm-1QmQQ1Q1Q2四、综合应用：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用（即两面夹攻）：根据条件结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若P可以推出Q，就可以证明结论成立)tan1(2tan1tan1tan1sincossin,sin2cossin),(2,6.22222＝求证：且已知例zkk分析：证明式中没有,因此我们要将消掉,如何消掉？而且在条件中只有弦,而在证明结果里面只有切,因此我们要弦化切。证明：,22222222222222222sinθ+cosθ-2sinθcosθ=14sinα-2sinβ=1.1-tanα1-tanβ=1+tanα2(1+tanβ)sinβsinα1-1-cosβcosα=sinαsinβ1+2(1+)cosαcosβ（），，因为所以将(1)(2)代入，可得另一方面要证即证（3）222222221cosα-sinα=(cosβ-sinβ)211-2sinα=(1-2sinβ)24sinα-2sinβ=1.，，即证即证即证由于上式与③相同，于是问题得证.直接证明(回顾小结)分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，易于表述。通常以分析法寻求思路，再用综合法有条理地表述解题过程分析法综合法概念综合法分析法特点由因索果由果索因条件充分条件不要条件格式P→Q1→Q2→...→Qn→QQ←P1←P2←...←Pn←P关系解答个一般方式解法的探讨实际证题过程，分析与综合是统一运用的P→Q1→Q2→...→Qn→Q←Pn←...←P2←P1←P六、课堂小结【巩固练习】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244（：求证已知、、求证：