第11讲-简单线性回归

回归是设法找出变量间在数量上的依存变化关系,用函数表达式表达出来，这个表达式称之为回归方程。两变量间的关系确定性关系：两变量间的函数关系圆的周长与半径的关系：C＝2R速度、时间与路程的关系：L＝STX与Y的函数关系：Y＝a+bX非确定性关系：两变量在宏观上存在关系，但并未精确到可以用函数关系来表达。青少年身高与年龄的关系；身高与体重的关系:标准体重(kg)=身高(cm)-105药物浓度与反应率的关系；一、线性回归的概念当两个变量存在准确、严格的直线关系时，可以用Y=a+bX，表示两者的函数关系。其中X为自变量（independentvariable）；Y是因变量（dependentvariable）。但在实际生活当中，由于其它因素的干扰，许多双变量之间的关系并不是严格的函数关系，不能用函数方程来准确反映，为了区别于两变量间的函数方程，我们称这种关系为回归关系，用直线方程来表示这种关系称为回归直线或线性回归。Yabx小插曲：为什么叫”回归“？F.GaltonK.Pearson二、回归参数的估计式中的是由自变量X推算应变量Y的估计值，a是回归直线在Y轴上的截距；b为样本的回归系数，即回归直线的斜率，表示当X变动一个单位时，Y平均变动b个单位。计算原理：最小二乘法，即保证各实测点到回归直线的纵向距离的平方和最小，并使计算出的回归方程最能代表实测数据所反映出的直线趋势。YabxY22ˆYYYabXXbYaXXXYllXXYYXXb2)())((例12-1某医师为了研究正常成年男性的运动后最大心率与年龄的关系，测得20名正常成年男性的有关数据，散点图如下。年龄504846444240383634心率200190180170160150140130年龄与运动后最大心率的回归方程41.8166.8381.24477.21226.8XXYYXYXYlll====-＝1226.83.218381.2XYXXlbl-===-ˆ301.31243.218YX=-166.8-(-3.218)41.8301.3124a=?回归系数和回归方程的意义及性质b的意义a的意义的意义的意义的意义bXaYˆYY－ˆniiiYY12ˆ－ˆYb的意义斜率(slope)＝301.3124-3.218X年龄每增加1岁，其运动后最大心率平均减少3.218（次/分钟)b的单位为(Y的单位/X的单位)Yˆb0，yincreasewiththeincreaseofXb0，ydecreasewiththeincreaseofXb=0，nolinearcorrelationbetweentwovariables.0XYbistheregressioncoefficientandtheslopeoftheline。statisticalsignificanceofb：whenXchangedaunit,theYchangedbunitsonaverage.b0b0b=0a的意义bXaYˆa截距(intercept,constant)X=0时，Y的估计值a的单位与Y值相同当X可能取0时，a才有实际意义。估计值的意义X=46时,=153.2844,即年龄为46岁的正常成年男性,其平均运动后最大心率估计值为153.2844（次/分钟)；给定X时，Y的估计值。当时，YˆYˆXXYY的意义YYˆYYˆ为残差：实测点到回归直线的纵向距离。1112131415165.05.56.06.5残差平方和(residualsumofsquares).综合表示点距直线的纵向距离。在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。(最小二乘)的意义2)ˆ(YY三、总体回归系数的假设检验与直线相关一样，直线回归方程也是从样本资料计算而得的，同样也存在着抽样误差问题。所以，需要对样本的回归系数b进行假设检验，以判断b是否从回归系数为零的总体中抽得。总体的回归系数用β表示。一般步骤1.H0：β=0回归方程无意义H1：β≠0回归方程有意义α=0.052.选择合适的假设检验方法（方差分析或t检验），计算统计量3.计算概率值P4.做出推论：统计学结论和专业结论方差分析法因变量总变异的分解XP(X,Y)YY）（YY）（YYY）（YYYY的总变异分解未引进回归时的总变异：(sumofsquaresaboutthemeanofY)引进回归以后的变异(剩余):(sumofsquaresaboutregression)回归的贡献，回归平方和：(sumofsquaresduetoregression)2)(YY2)(YY2)(YYY的总变异分解222ˆˆYYYYYY剩回总SSSSSS剩回总剩余标准差2ˆ2nYYsXY(1)扣除了X的影响后Y方面的变异;(2)引进回归方程后,Y方面的变异。回归系数检验的基本思想如果X与Y无线性回归关系，在SS回归和SS剩余都是其他随机因素对Y的影响，由此，MS回归≈MS剩余，总体回归系数β=0，反之，β≠0。所以用F检验对X与Y之间有无回归关系进行检验。公式222YSSYYYn总22xyxyxxlSSYYbll回归SSSSSS总剩余回归112vnvvn总回归剩余SSSSMSMSvvMSFMS回归剩余回归剩余回归剩余回归剩余22()4477.2ˆ()39481591529.0409/134.3313/YYYYSSSSSSSSSSMSSSvFMSSSv总回归总剩余回归回归回归回归剩余剩余剩余查F界值表，F0.05（1，18）=4.41，FF0.05（1，18），P0.05，拒绝H0H0：β=0H1：β≠0α=0.05t检验法22,0()/bbvnSyxblxxbXXSSvtss剩余剩余Sb是样本回归系数的标准误H0：＝0，H1：≠0，=0.05。()2.529.0409ˆ529.0409,5.42142025.42140.2777381.23.21811.588,18,P0.0010.2777YXbbYYsstv-==-==-==-=å＝年龄与运动后最大心率间存在回归关系。决定系数(coefficientofdetermination)取值在0到1之间，反映了回归贡献的相对程度。决定系数除了作为回归拟合效果的概括统计量，还可利用它对回归方程做假设检验。2SSRSS回总2R22(1)(2)MSRkFRnMS回剩四、回归问题的区间估计回归系数的可信区间估计估计值的可信区间估计个体Y值的容许区间估计Y总体回归系数的可信区间估计根据t分布原理估计：-3.218±2.101×0.2777＝-3.8014~-2.634620nsbtbb，bnstb2,的可信区间估计总体回归线的95%置信带Yˆ样本总体Y的总平均给定X时Y的平均(Y的条件均数)YYY22.2,2,)()(1XXXXnstYstYXYnYn根据t分布原理：的容许区间估计个体Y值的容许区间22.2,2,)()(11XXXXnstYstYXYnYn给定X时Y的估计值是Y的均数的一个估计。给定X时Y值的容许区间是Y值的可能范围。的100(1-)%容许限:YYY的可信区间与Y的容许区间可信区间是针对条件均数的，而容许区间是针对Y的取值范围的。X=46时，的可信区间为：149.7501~156.8187(次/分),表示：年龄为46岁的男子，估计其运动后最大心率为153.2844，95％可信区间为（149.7501，156.8187)(次/分),X=46时，Y的容许区间为：141.7543~164.8145(次/分),表示：年龄为46岁的男子，估计有95％的人其运动后最大心率在141.7543~164.8145(次/分)之间。YˆYˆ可信区间与容许区间示意(confidenceband&toleranceband)1112131415164.55.05.56.06.57.0五、残差分析线性回归的应用条件(LINE)：(1)线性(linear)(2)独立(independent)(3)给定X时，Y正态分布(normal)(4)等方差(equalvariance)可通过散点图、残差图等方法来判断数据是否满足这些条件。给定X时，Y是正态分布、等方差示意图给定X时，Y是正态分布、不等方差示意图残差及残差分析残差是指观察值Yi与预测值之间的差值，其表达式为：它反映了方程拟合数据优劣的信息。残差分析（residualanalysis）旨在通过残差深入了解数据与方程之间的关系，评价实际资料是否符合回归方程的假设，识别离群值等。ˆiiieYYˆiY残差图标准残差：（残差－均值）/标准差以自变量（或因变量）为横坐标，标准残差为纵坐标，构成的散点图称之为残差图。运动后最大心率Y和回归残差图残差图示意图残差图示意图含义以上给出几种以自变量取值为横坐标、以标准化残差为纵坐标的残差图的常见类型。在此残差图中：情况（a）、情况（b）和情况（f）表示残差不满足等方差的条件；情况（c）显示存在非线性关系；情况（d）显示有点处于2倍标准差以外，可能是离群值；只有情况（e）显示残差呈随机分布，满足回归条件。六、线性回归分析的注意事项1.进行相回归分析要有实际意义。2.充分利用散点图。3.在回归分析中要求因变量Y是随机变量，服从正态分布，自变量X可以是随机变量也可以是给定的变量。4.自变量的选择：因果中的因、容易测量的、变异小的。4.注意线性回归模型的应用条件：LINE5.建立回归方程后，须对回归系数进行假设检验。6.使用回归方程估计时，在建立方程时的自变量的取值范围内。七、线性相关和回归的区别和联系联系：1.b和r符号一致2.b和r的检验是等价的3.用回归解释相关2SSrSS回总brttF区别1.资料要求不同：回归要求y服从正态分布，x是可以精确测量和严格控制的变量，一般称为Ⅰ型回归；相关要求两个变量服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为Ⅱ回归，可计算两个方程。I型回归：X是精确控制的；II型回归：X是随机的。由X推算Y：由Y推算X：2.研究目的不同：回归用来说明两变量数量上的依存变化关系，相关说明变量间的相关关系。YbaXXbaYYXYXXYXY....ˆˆ小结简单线性回归是研究两个变量间线性关系的数量表达式。根据最小二乘法原则，计算回归方程。进行简单线性回归分析需要满足线性、独立、正态与等方差4个条件。在简单线性回归分析中，对回归方程的检验等价于对回归系数的假设检验，可通过方差分析或t检验完成。案例原文题目《高效毛细管电泳法测定血浆中布比卡因的浓度》，采用毛细管电泳法，于0.5ml空白血浆中分别加入0.05，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5μg的布比卡因进行测定，原作者以样品峰的峰面积与内标峰的峰面积之比（Y）对样品量（X）进行相关分析，线性关系良好（r＞0.99）习题•1.在简单线性回归分析中，得到回归系数为-0.30，经检验有统计学意义，说明（）A.Y增加一个单位，X平均减少30%B.X增加一个单位，Y平均减少30%C.X增加一个单位，Y平均减少0.30个单位D.Y增加一个单位，X平均减少0.30个单位E.X对Y的影响在变异的30%•2.对两个定量变量同时进行了线性相关和线性回归分析，r有统计学意义，则（）A.b无统计学意义B.b有高度统计学意义C.b有统计学意义D.不能肯定b有无统计学意义E.a有统计学意义•3.最小二乘估计方法的本质要求是（）A.各点到直线的垂直距离的和最小B.各点