第3章--电阻电路的一般分析

第3章电阻电路的一般分析重点1.熟练掌握电路方程的列写方法2.支路电流法3.回路电流法4.节点电压法线性电路的一般分析方法(1)普遍性：对任何线性电路都适用。复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。（2）元件的电压、电流关系特性。（1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。方法的基础(2)系统性：计算方法有规律可循。网络图论BDACDCBA哥尼斯堡七桥难题图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。3.1电路的图电路的图R4R1R3R2R5uS+_i抛开元件性质一个元件作为一条支路85bn元件的串联及并联组合作为一条支路64bn65432178543216有向图(1)图的定义(Graph)G={支路，节点}电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和节点与电路的支路和节点一一对应。a.图中的节点和支路各自是一个整体。b.移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立节点存在。c.如把节点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。①②１从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路径。(2)路径（3）连通图图G的任意两节点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。(3)子图若图G1中所有支路和节点都是图G中的支路和节点，则称G1是G的子图。树(Tree)树T是连通图的一个子图满足下列条件：(1)连通(2)包含所有节点(3)不含闭合路径树支：构成树的支路连支：属于G而不属于T的支路2）树支的数目是一定的：连支数：不是树1nbt)(1nbbbbtl树特点1）对应一个图有很多的树回路(Loop)回路L是连通图的一个子图，构成一个闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点关联2条支路12345678253124578不是回路回路2）基本回路的数目是一定的，为连支数)(1nbbll特点1）对应一个图有很多的回路3）对于平面电路，网孔数为基本回路数基本回路(单连支回路)12345651231236支路数＝树支数＋连支数＝节点数－1＋基本回路数结论1lnb节点、支路和基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。8765864382433.2KCL和KVL方程的独立性1.KCL的独立方程数0641iii654321432114320543iii0652iii0321iii4123＋＋＋＝0结论n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个。2.KVL的独立方程数KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)结论n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：bnbn)()(113.3支路法对于有n个节点、b条支路的电路，当选择支路电压和支路电流作为电路变量列写电路方程时，共有2b个未知变量。只要列出2b个独立的电路方程，便可以求解这2b个变量。1.2b法独立方程的列写（1）根据KCL可以列写出(n-1)个独立的节点电流方程（2）根据KVL可列写出b-(n-1)个独立的回路电压方程以支路电压和（或）支路电流为电路变量列写电路方程并进行求解的方法称为支路法。（3）根据元件的性能关系，又可列写出b个支路电压、支路电流关系方程（支路特性方程）R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例0621iii1320654iii0432iiiKCL方程:取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列写KVL方程:0132uuu0354uuuSuuuu651元件特性方程：111uRi回路1回路2回路3123222uRi333uRi444uRi555uRi666uRi联立求解，即可解得2b个变量对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。以各支路电流为未知量列写电路方程并求解的方法。2.支路电流法独立方程的列写（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程（2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程（3）利用元件特性方程替换支路电压R1R2R3R4R5R6+–i2i3i4i1i5i6uS1234例0621iii1320654iii0432iii有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程:取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程:0132uuu0354uuuSuuuu651结合元件特性消去支路电压得：0113322iRiRiR0335544iRiRiRSuiRiRiR665511回路1回路2回路3123联立求解，即可解得b个变量支路电流法的一般步骤：(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)选定(n–1)个节点，列写其KCL方程；(3)选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程；(将元件特性方程代入)(4)求解上述方程，得到b个支路电流；(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。例.节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：求各支路电流及电压源各自发出的功率。解(2)b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=6U=US7I1–11I2=70-6=641270V6V7ba+–+–I1I3I2711203711001171111218711601164110140676006471012AI620312181AI22034062AIII426213WP42070670WP12626例.节点a：–I1–I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解11I2+7I3=5U7I1–11I2=70-5U增补方程：U=7I3a1270V7b+–I1I3I2711+5U_+U_有受控源的电路，方程列写分两步：(1)先将受控源看作独立源列方程；(2)将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。对理想电流源支路的处理如果电路中的某个支路是单一电流源或单一受控电流源,需作一些相应的处理才能用支路电流法。（1）假设电流源两端有一电压U，将电流源视为电压为U的电压源列写方程；（2）补充电流源的数值与支路电流的关系方程。处理方法1处理方法2列写KVL方程时避开电流源支路取回路。例.节点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解1.(2)b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=U7I1–11I2=70-Ua1270V6A7b+–I1I3I2711增补方程：I2=6A+U_1解2.70V6A7b+–I1I3I2711a由于I2已知，故只列写两个方程节点a：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=703.4网孔分析法和回路分析法基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个沿着网孔的边界流动的电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电路的解。1.网孔分析法以平面电路中的网孔作为基本回路，以网孔电流为未知量列写电路方程并分析电路的方法称为网孔法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i21222311lllliiiiiiiil1il2网孔数为2。选图示的两个网孔电流，支路电流可表示为：网孔电流方程的列写（1）对每一个网孔列写出KVL方程（2）再对每一条支路列写出支路特性方程（3）将其中的支路电流ik用相应的网孔电流的线性组合表示()kkkufi（4）将用网孔电流表示的支路电压uk代入到每一网孔的KVL方程中，得到一组以网孔电流为变量的网孔电流方程网孔电流方程数目必然与待求变量数目相同而且是独立的，求解这组方程可得到各网孔电流，进而利用已求得的网孔电流可求出各支路电流、电压以及功率。网孔电流方程的数目)(1nb网孔1：R1il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0网孔2：R2(il2-il1)+R3il2-uS2=0整理得：(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2例R11=R1+R2网孔1的自电阻,等于网孔1中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：R22=R2+R3网孔2的自电阻,等于网孔2中所有电阻之和。自电阻总为正即：R11il1+R12il2=ul1R21il1+R22il2=ul2R12=R21=–R2网孔1、网孔2之间的互电阻。当两个网孔电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。ul1=uS1-uS2网孔1中所有电压源电压的代数和。ul2=uS2网孔2中所有电压源电压的代数和。当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2R11il1+R12il2=ul1R21il1+R22il2=ul2(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2网孔电流方程的通式1111221112112222221122.....................mmmmmSmmmmmSmmmmmmmmSmmRiRiRiuRiRiRiuRiRiRiu有了方程通式，只需设出网孔电流，观察电路，写出自阻、互阻及各网孔电压源电压升代数和并代入通式，即可迅速得到按网孔电流顺序排列的相互独立的方程组。基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个回路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电流的线性组合表示。来求得电路的解。2.回路分析法以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：1222311lllliiiiiii回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：列写的方程与支路电流法相比，方程数减少n-1个。回路1：R1il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回路2：R2(il2-il1)+R3il2-uS2=0整理得：(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2)(1nbi1i3uS1uS2R1R2R3ba+–+–i2il1il2（1）方程的列写R11il1+R12il2=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：对于具有l=b-(n-1)个回路的电路，有:其中:Rjk:互电阻+:流过互阻的两个回路电流方向相同-:流过互阻的两个回路电流方向相反0:无关R11il1+R12il1+…+R1lill=uSl1…R21il1+R22il1+…+R2lill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+…+Rllill=uSllRkk:自电阻(为正)例1.用回路电流法求解电流i.解1独立回路有三个，选网孔为独立回路：i1i3i2SSUiRiRiRRR3421141)(0)(35252111iRiRRRiR0)(35432514iRRRiRiR（1）不含受控源的线性网络Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。（2）当网孔电流均取顺（或逆时针方向时，Rjk均为负。表明32iiiRSR5R4R3R1R2US+_iRSR5R4R3R1R2US+_i解2只让一个回路电流经过R5支路SSUi